Une inéquation différentielle

(Oral X-Cachan 2017)
Soit {f\in C^{1}(\mathbb{R},\ \mathbb{R})} telle que {f(1)=1} et : {\forall x\geq 1}, {f^{\prime }(x)=\dfrac{1}{x^{2}+f^{2}(x)}}.

Montrer que {f} possède une limite finie {L} quand {x\to+\infty } et que {L\leq 1+\dfrac{\pi}{4}}.

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Sur {[1,+\infty[}, la fonction {f'} est positive, donc {f} est croissante.

La fonction f admet donc en {+\infty} une limite {L\in\overline{\mathbb{R}}}.

En particulier, pour {t\geqslant 1}, on a {f(t)\ge f(1)=1}, donc {f'(t)\leqslant \dfrac{1}{t^2+1}}.

On en déduit, pour tout x\ge 1 : {f(x)=1+\int_{1}^x f'(t)\,\text{d}t\leqslant 1+\int_{1}^x \frac{\,\text{d}t}{t^2+1}=1+\arctan x-\dfrac{\pi}{4}\quad (\star)}Ainsi {f} est majorée sur {[1,+\infty[}, donc {L} est réel.

Quand {x\to+\infty}, {(\star)} donne {L\leqslant 1+\dfrac{\pi}{4}}.