Une factorisation

(Oral Mines-Ponts 2017)
Soit {n\in \mathbb{N}^{\ast }}. On considère le polynôme : {\begin{array}{rl}P_n&=1+2X+3X^{2}+\cdots+(n-1)X^{n-2}+nX^{n-1}\phantom{\Bigl(}\\&\quad+(n-1)X^{n}+...+2X^{2n-3}+X^{2n-2}\end{array}}Trouver les racines de {P_n} et le factoriser dans {\mathbb{C}[X]}.
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Posons {Q_n=1+X+\cdots+X^{n-1}}.

On sait que {Q_n=\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}\left(X-\text{e}^{2ik\pi/n}\right)}. On observe que : {\begin{array}{rl}P_n&=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}X^k+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}X^k+\cdots+\displaystyle\sum_{k=n-1}^{2n-2}X^k\\\\&=Q_n+XQ_n+\cdots+X^{n-1}Q_n=Q_n^2\end{array}}Ainsi {P_n=Q_n^2=\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}\left(X-\text{e}^{2ik\pi/n}\right)^2}.