Une condition de nilpotence

(Exercice d’oral Mines-Ponts 2017)
Soit {M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}. Montrer : ({\,M} nilpotente\,) {\Leftrightarrow\forall k\in\mathbb{N}^*,\;\text{tr}(M^{k})=0}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé

  • Si {M} est nilpotente, alors Sp{(M)=\{0\}} donc {\text{tr}(M)=0}.

    De plus, pour tout {k\in \mathbb{N}^*}, {M^k} est elle aussi nilpotente, donc vérifie {\text{tr}(M^k)=0}.

  • Réciproquement, on suppose : {\forall\, k\in \mathbb{N}^*, \ \text{tr}(M^k)=0}.

    Comme {M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}, son polynôme caractéristique est scindé sur {\mathbb{C}}.

    Par l’absurde, on suppose que {M} n’est pas nilpotente.

    Elle possède donc au moins une valeur propre non nulle.

    Soit {\lambda_1,\ldots ,\lambda_p} les valeurs propres distinctes non nulles de {M}.

    On note {\alpha_1, \ldots, \alpha_p} leurs multiplicités respectives (toutes \ge1.

    Pour {1\le k\le p}, on a donc : {\text{tr}(A^k)=\displaystyle\sum_{i=1}^p\alpha_i\lambda_i^k=0}, ce qui s’écrit : {\begin{pmatrix}\lambda_1&\lambda_2&\ldots&\ldots &\lambda_p\\ \lambda_1&\lambda_2^2&\ldots&\ldots &\lambda_p^2\\\vdots&\vdots& \vdots&\vdots&\vdots \\\lambda_1^p&\lambda_2^p&\ldots &\ldots&\lambda_p^p\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha_1\\\alpha_2\\ \vdots\\\alpha_p\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\ \vdots\\\ 0\end{pmatrix}}Le déterminant de ce système est : {\displaystyle\prod_{i=1}^p \lambda_i\times\displaystyle\prod_{1\le i\lt j \le p}(\lambda_j -\lambda_i)\ne0}.

    Il en résulte {\forall\, i\in [[ 1, p]],\; \alpha_i=0}, ce qui est absurde par définition des {\alpha_i}.

    Ainsi {0} est la seule valeur propre de {M}, donc {\chi_M=X^n}.

    Ainsi {M^n=0} (par Cayley-Hamilton) : la matrice M est nilpotente