Points extrémaux d’une partie convexe

(Oral X-Cachan 2017)
Soit {X} une partie convexe d’un {\mathbb{R}}-espace vectoriel {E}.
Un point {u\in X} est dit extrémal si {X\backslash \{u\}} est convexe.

  1. On munit {\mathbb{R}^{2}} de la norme euclidienne.
    Déterminer alors les points extrémaux de la boule unité fermée.
  2. Même question pour la norme définie par {||(x,y)||=|x|+|y|}.
  3. Montrer : {u} est extrémal \iff u n’est pas le milieu de deux points de {X\backslash \{u\}}.
  4. Soit {\mathcal{B}} la boule unité fermée d’un espace euclidien {E}.
    On munit {\mathcal{L}(E)} de la norme : {N(u)=\sup\limits_{x\in \mathcal{B}}||u(x)||}.
    Montrer que {O(E)} est l’ensemble des points extrémaux de {\mathcal{B}}. On admettra que toute {M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} s’écrit {M=\Omega S} avec {\Omega\in O(n)} et {S} symétrique.

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  1. Soit {\mathcal B_2=\{z\in \mathbb{C} , |z| \leqslant 1\}} la boule unité fermée de {\mathbb{R}^2} pour {x\mapsto \|x\|_2}.

    On va montrer que ses points extrémaux forment le cercle-unité {S_2=\{x\in \mathbb{R}^2 \ | \ \|x\|_2=1\}}.

    Si {\left\|u\right\|\lt 1}, alors {u} est clairement le milieu d’un segment de {\mathcal{B}_2\setminus\{u\}}.

    Le point {u} n’est donc pas extrémal dans {\mathcal{B}_2}.

    On suppose donc {\left\|u\right\|=1}, et on va montrer que {\mathcal{B}_2\setminus\{u\}} est convexe.

    Soit {a,b} dans {\mathcal{B}_2}, distincts de {u}.

    On sait que {[a,b]\subset \mathcal{B}_2}. Il s’agit de montrer que {u\notin\,]a,b[}.

    Par l’absurde, on suppose : {\exists\,\lambda\in\,]0,1[,\;u=\lambda a+(1-\lambda)b}.

    On a alors : {1=\|u\|=\|\lambda a+(1-\lambda)b\|\le \lambda\|a\|+(1-\lambda)\|b\|\le \lambda+(1-\lambda)=1}.

    Ce sont donc des égalités. Ainsi {\begin{cases}\|a\|=\|b\|=1\\\|\lambda a+(1-\lambda)b\|=\lambda\|a\|+(1-\lambda)\|b\|\end{cases}}

    Ainsi {\lambda a} et {(1-\lambda)b} sont positivement liés (cas d’égalité pour une norme euclidienne). Donc {a} et {b} sont positivement liés, ce qui est absurde car ils sont de norme {1} et distincts.

    En conclusion, les points extrémaux de {\mathcal{B}_2} sont les points du cercle-unité {\mathcal{S}_2}.

  2. On munit {\mathbb{R}^2} de la norme {\|~\|_1}.
    La boule unité fermée {\mathcal B_1} est le carré {ABCD}, où {\begin{cases}A=(1,0),\ B=(0,1)\\ C=(-1,1),\ D=(0,-1)\end{cases}}

    Les points extrémaux de {\mathcal{B}_1} sont les sommets du carré, et eux seuls (un dessin!)

  3. Soit {u} un élément du convexe {X}.

    • Supposons que {u} est le milieu de deux points de {X\setminus\{u\}}.

      Alors {X\setminus\{u\}} n’est pas convexe donc {u} n’est pas extrémal dans {X}.

    • Supposons {u} non extrémal dans {X}.

      Alors il existe {(a,b)\in (X\setminus\{u\})^2} tel que {u\in[a,b]}.

      Ainsi {u=(1-t)a+tb} c’est-à-dire {u-a=t(b-a)}, avec {0\lt t\lt 1}.

      Les points {a} et {b} jouant un rôle symétrique, on peut supposer {0\lt t\le \dfrac{1}{2}}.

      Alors {u=\dfrac12(a+a')}, avec {a'=(1-2t)a+2tb\in[a,b]\subset X} (et {a'\ne u}).

      En d’autres termes, {u} est le milieu de deux points de {X\setminus\{u\}}.

  4. Par définition de {N}, on a : {\forall u\in\mathcal{L}(E),\;\forall x \in E,\;\|u(x)\| \leqslant N(u)\|x\|}.

    On en déduit facilement : {\forall (u,v)\in \mathcal{L}(E)^2,\; N(uv)\le N(u)N(v)}.

    Soit {\mathscr B} la boule unité fermée de {\mathcal{L}(E)} pour {N}. Posons {\dim(E)=n}.

    • Nous allons montrer que les éléments de {\mathcal O(E)} sont extrémaux dans {\mathscr B}.

      Soit {u\in \mathcal O(E)}. On a {\|u(x)\|=\|x\|} pour tout {x}, donc {N(u)=1} donc {u\in \mathscr B}.

      Supposons {u=\dfrac{1}{2}(v+w)}, avec {v} et {w} dans {\mathscr B}. Soit {x\in B\setminus\{0\}}. On a : {\begin{array}{rl}\|u(x)\|=\dfrac{1}{2}\|v(x)+w(x)\|&\leqslant \dfrac{1}{2}(\|v(x)\|+\|w(x)\|)\\\\&\leqslant \dfrac{1}{2}(\|x\|+\|x\|) =\|x\|\end{array}}

      Mais {u} est orthogonal ({\|u(x)\|=\|x\|}) donc ces inégalités sont des égalités.

      En particulier {\|v(x)\|=\|w(x)\|=\|x\|} (et ces vecteurs sont non nuls).

      De même {\|v(x)+w(x)\|= \|v(x)\|+\|w(x)\|}.

      Ainsi {v(x)} et {w(x)} sont positivement liés (norme euclidienne).

      De plus ils sont de même norme : on a donc {w(x)=v(x)}.

      Ainsi {u} et {v} coïncident sur la boule unité {\mathcal{B}} donc sur {E} par linéarité.

      Il en résulte {v=w=u}. D’après la question 3), {u} est donc extrémal dans {\mathscr B}.

    • On va montrer que les éléments de {\mathcal O(E)} sont les seuls points extrémaux de {\mathscr B}.

      Soit {u\in \mathscr B} tel que {u\notin \mathcal O(E)}.

      On doit prouver que {u} est le milieu de deux éléments distincts de {\mathscr B}.

      Soit {M} la matrice de {u} dans une base orthonormale {\mathcal C} de {E}.

      Il existe {\Omega} orthogonale et {S} symétrique réelle, telles que {M=\Omega S}.

      D’après le théorème spectral, il existe {P\in O(n)} orthogonale et {D=\text{diag}(\lambda_1, \ldots\lambda_n)} diagonale, telles que {S=PDP^{\top}}.

      Soit {\lambda \in \mathbb{R}}, une valeur propre de {S}, et soit {X} un vecteur propre associé.

      On a {\|SX\|=\|O^{-1}MX\|=\|MX\|}, donc {|\lambda\||X\|=\|MX\|}.

      Mais {u\in \mathscr B}, donc {\| MX\| \leqslant \|X\|} et il en découle {\lambda \in [-1,1]}.

      Tout comme {M}, la matrice {S} n’est pas orthogonale.

      Elle admet donc une valeur propre {\lambda\in\,]-1,1[}.

      Sans perdre de généralité, on peut supposer {\lambda_1\in\,]-1,1[}.

      Il existe donc {(a,b)\in [-1,1]^2} tels que {\lambda_1=\dfrac{a+b}{2}} avec {a\neq b}.

      On pose alors {D_a=\text{diag}(a,\lambda_2, \ldots \lambda_n)} et {D_b=\text{diag}( b,\lambda_2, \ldots, \lambda_n)}.

      On a bien sûr {\dfrac{1}{2}(D_a+D_b)=D}.

      On pose {V_a=\Omega PD_aP^{\top}}, {V_b=\Omega PD_bP^{\top}}.

      Par construction, {V_a\ne V_b} et {\dfrac{1}{2}(V_a+V_b)=\Omega PDP^{\top}=M}.

      On observe que : {N(V_a)\le N(\Omega P)N(D_a)N(P^{\top})=N(D_a)=\max\{|a|,|\lambda_2|, \ldots |\lambda_n|\}\le 1}De même {N(V_b)\leqslant 1}.

      Notons {v_a} et {v_b} les éléments de {\mathscr B} associés à {V_a} et {V_b} dans {\mathcal{C}} (ils sont distincts de {u}).

      Ainsi {u=\dfrac{1}{2}(v_a+v_b)}, donc {u} n’est pas extrémal dans {\mathscr B}.

    Conclusion: les points extrémaux de {\mathscr B} sont les éléments de O(E).