Points extrémaux d’une partie convexe

(Oral X-Cachan 2017)
Soit {X} une partie convexe d’un {\mathbb{R}}-espace vectoriel {E}.
Un point {u\in X} est dit extrémal si {X\backslash \{u\}} est convexe.

  1. On munit {\mathbb{R}^{2}} de la norme euclidienne.
    Déterminer alors les points extrémaux de la boule unité fermée.
  2. Même question pour la norme définie par {||(x,y)||=|x|+|y|}.
  3. Montrer : {u} est extrémal \iff u n’est pas le milieu de deux points de {X\backslash \{u\}}.
  4. Soit {\mathcal{B}} la boule unité fermée d’un espace euclidien {E}.
    On munit {\mathcal{L}(E)} de la norme : {N(u)=\sup\limits_{x\in \mathcal{B}}||u(x)||}.
    Montrer que {O(E)} est l’ensemble des points extrémaux de {\mathcal{B}}. On admettra que toute {M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} s’écrit {M=\Omega S} avec {\Omega\in O(n)} et {S} symétrique.

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