Isométries du plan (1/2)

Exercice 1.
Pour tout réel {t}, soit {R(t)=\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\cr\sin t&\cos t\end{pmatrix}} et {S(t)=\begin{pmatrix}\cos t&\sin t\cr\sin t&-\cos t\end{pmatrix}}.

  1. Vérifier les propriétés suivantes, pour tous réels {t} et {u} :
    {\begin{array}{l}R(t)R(u)=R(u)R(t)=R(t+u)\\ R(0)=\text{I}_2\qquad R(t)^{-1}=R(-t)\phantom{\Bigl(}\\ S(t)S(u)=R(t-u)\qquad S(t)^2=\text{I}_2\phantom{\Bigl(}\\ S(t)R(u)=S(t-u)\qquad R(u)S(t)=S(t+u)\phantom{\Bigl(}\end{array}}
  2. Soit {r} une rotation du plan euclidien orienté {E_2}.
    Montrer qu’il existe un unique réel {\theta} (modulo {2\pi}) tel que :

    • La matrice de {r} dans toute base orthonormée directe est {R(\theta)}.
    • La matrice de {r} dans toute base orthonormée indirecte est {R(-\theta)}.

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Exercice 2.
Soit {r} la rotation vectorielle d’angle {\theta\mod{2\pi}} de {\mathbb{R}^2}, avec {\theta\ne 0\mod\pi}.
Soit {u} un vecteur non nul de {\mathbb{R}^2}. Écrire la matrice de {r} dans la base {u,r(u)}.
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Exercice 3.
On se place {\mathbb{R}^2} euclidien orienté.
Soit {r\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^2)} de matrice {A=\begin{pmatrix}7&25\cr -2&-7\end{pmatrix}} dans la base {\begin{cases}u_1=(1,1)\cr u_2=(3,4)\end{cases}}.
Montrer que {r} est une rotation vectorielle.
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Exercice 4.
On se place dans {\mathbb{R}^2} euclidien orienté. Soit {A=\begin{pmatrix}a&b\cr c&d\end{pmatrix}\in{\mathcal M}_2(\mathbb{R})}.
On suppose que {-2\lt \text{tr}(A)\lt 2} et {\det(A)=1}.
Montrer que {A} est la matrice d’une rotation dans une base {\varepsilon_1,\varepsilon_2} de {\mathbb{R}^2}.
Le résultat subsiste-t-il si {\text{tr}(A)=\pm2}?
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Exercice 5.
Soit {\varepsilon_1,\varepsilon_2} une base quelconque d’un plan vectoriel euclidien orienté.
Soit {r} une rotation vectorielle de {E}, de matrice {A} dans la base {\varepsilon_1,\varepsilon_2}.
Pour toute rotation {\rho}, montrer que la matrice de {r} dans {\rho(\varepsilon_1),\rho(\varepsilon_2)} est {A}.
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