Étude d’une série de fonctions

(Exercice d’oral Mines-Ponts 2017)

  1. Déterminer l’ensemble de définition {I} de {f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n\in \mathbb{N}}\ln (1+e^{-nx})}.
  2. Montrer que {f} est continue et strictement décroissante sur {I}.
  3. Calculer la limite de {f} en {+\infty }. Même question en {0^+}.
  4. Trouver un équivalent de {f} en {0}. On admettra que: {\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^{2}}=\dfrac{\pi ^{2}}{12}.}

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