Équivalents et sommes partielles

(Oral X-Cachan 2017)
Soit {(a_{n})} une suite de {\mathbb{R}^+}. On note {S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_k} et on suppose {\lim\limits_{+\infty }a_{n}S_n=1}.

  1. Montrer que {\displaystyle\sum a_n} diverge et {\displaystyle\lim_{+\infty}a_n=0}. Montrer que {S_{n+1}\sim S_{n}}.
  2. Montrer que {\lim\limits_{+\infty}(S_{n+1}^{2}-S_{n}^{2})=2}. En déduire {a_{n}\sim \dfrac{1}{\sqrt{2n}}}.
  3. Réciproquement, si {b_{n}\sim \dfrac{1}{\sqrt{2n}}}, montrer que {\lim\limits_{+\infty}b_{n}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}b_{k}=1}.
  4. Généralisation. Soit {\alpha\ge0}. Que dire de {a_{n}} si {\lim\limits_{+\infty}a_{n}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}^{\alpha }=1}?
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
 Vous devez être abonné(e) et connecté(e) au site pour voir ce contenu