Équivalents et sommes partielles

(Oral X-Cachan 2017)
Soit {(a_{n})} une suite de {\mathbb{R}^+}. On note {S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_k} et on suppose {\lim\limits_{+\infty }a_{n}S_n=1}.

  1. Montrer que {\displaystyle\sum a_n} diverge et {\displaystyle\lim_{+\infty}a_n=0}. Montrer que {S_{n+1}\sim S_{n}}.
  2. Montrer que {\lim\limits_{+\infty}(S_{n+1}^{2}-S_{n}^{2})=2}. En déduire {a_{n}\sim \dfrac{1}{\sqrt{2n}}}.
  3. Réciproquement, si {b_{n}\sim \dfrac{1}{\sqrt{2n}}}, montrer que {\lim\limits_{+\infty}b_{n}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}b_{k}=1}.
  4. Généralisation. Soit {\alpha\ge0}. Que dire de {a_{n}} si {\lim\limits_{+\infty}a_{n}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}^{\alpha }=1}?
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  1. Comme {\lim_{n \rightarrow +\infty} a_n\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_k=1}, on a {a_n>0} à partir d’un certain rang.
    Par l’absurde, supposons que {\displaystyle\sum a_n} converge, et soit {S=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}>0}.
    On a alors : {a_n\sim \dfrac{1}{S} } donc {\displaystyle\sum a_n} diverge grossièrement, et c’est contradictoire.

    Ainsi {\displaystyle\sum a_n} diverge, donc {\displaystyle\lim_{+\infty} S_n=+\infty}, donc {\displaystyle\lim_{+\infty}a_n=0} car {a_n\sim \dfrac{1}{S_n}}.

    Il en découle : {S_{n+1}=S_n+a_{n+1}\sim S_n}.

  2. On a les égalités: {\begin{array}{rl}S_{n+1}^2-S_n^2&=(S_{n+1}-S_n)(S_{n+1}+S_n)\\\\&=a_{n+1}(2S_{n+1}-a_{n+1})=2a_{n+1}S_{n+1}-a_{n+1}^2\end{array}}Sachant que {\displaystyle\lim_{+\infty}a_{n+1}S_{n+1}=1} et {\displaystyle\lim_{+\infty}a_{n+1}=0}, il vient : {\displaystyle\lim_{+\infty}(S_{n+1}^2-S_n^2)=2}.

    Ainsi {\displaystyle\lim_{+\infty}\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(S_{k+1}^2-S_k^2)=2} (théorème de Césaro), donc {\displaystyle\lim_{+\infty}\frac{1}{n}(S_n^2-S_0^2)=2}.

    Il en résulte {S_n\sim \sqrt{2n}} et donc {a_n\sim \dfrac{1}{\sqrt{2 n}}}.

  3. On admet les résultats sur la sommation des relations de comparaison :
    Si {(u_n),(v_n)} sont des suites positives telles {u_n\sim v_n}
    Si {\displaystyle\sum v_n} diverge, alors {\displaystyle\sum_{k=0}^nu_k\sim \displaystyle\sum_{k=0}^nv_k}.

    Et puisque {\displaystyle\sum \frac{1}{\sqrt{2 n}}} diverge, on a : {\displaystyle\sum_{k=1}^n b_k \sim \displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{2k}}}.

    Par décroissante de {t\longmapsto \dfrac{1}{\sqrt t}}, on a : {\displaystyle\int_{1}^{n+1}\frac{\,\text{d}t }{\sqrt t}\leqslant \displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt k}\leqslant 1+ \displaystyle\int_{1}^{n}\frac{\,\text{d}t}{\sqrt t}}.

    Ainsi {2(\sqrt{n+1}-1)\leqslant \displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt k}\leqslant 2\sqrt{n}-1}.

    Il en résulte { \displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt {2k}} \sim \sqrt {2n}}, puis {\displaystyle\lim_{+\infty} b_n\displaystyle\sum_{k=0}^{n}b_k=1}.

  4. Si {\alpha=0} l’hypothèse donne {\displaystyle\lim_{+\infty}a_n(n+1)=1} donc {a_n\sim \dfrac{1}{n}}.

    Si {\alpha> 0}, on reprend ce qui précède et on pose {T_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_k^{\alpha}}.

    Ainsi {\displaystyle\sum a_n^{\alpha}} diverge, sinon {(a_n)} (donc {(a_n^{\alpha})}) ne tendrait pas vers {0} (contradiction).

    Comme {a_n\sim \dfrac{1}{T_n}}, on a {\displaystyle\lim_{+\infty}a_n=0}, donc {T_{n+1}=T_n+a_{n+1}^{\alpha} \sim T_n}.

    On cherche {\beta\in \mathbb{R}} pour que {n\mapsto (T_{n+1}^{\beta}-T_n^\beta)} converge dans \mathbb{R}^*.

    On écrit {T_{n+1}^{\beta}=(T_n+a_{n+1}^{\alpha})^{\beta}=T_n^{\beta}\left(1+\dfrac{a_{n+1}^{\alpha}}{T_n}\right)^{\beta}}.

    Par ailleurs, on sait que {\displaystyle\lim_{+\infty}\frac{a_{n+1}^{\alpha}}{T_n}=0}. On en déduit : {\begin{array}{rl}T_{n+1}^{\beta}&=T_n^{\beta}\left(1+\beta\dfrac{a_{n+1}^{\alpha}}{T_n}+o\left(\dfrac{a_{n+1}^{\alpha}}{T_n}\right)\right)\\\\&=T_n^{\beta}+\beta a_{n+1}^{\alpha}T_n^{ \beta-1}+o\left(a_{n+1}^{\alpha}T_n^{\beta-1}\right)\end{array}}

    Il en résulte : {T_{n+1}^{\beta}=T_n^{\beta}=\beta a_{n+1}^{\alpha}T_n^{ \beta-1}+o\left(a_{n+1}^{\alpha}T_n^{ \beta-1}\right)}.

    Avec {\beta=\alpha+1} on obtient : {T_{n+1}^{\alpha+1}-T_n^{\alpha+1}=(\alpha+1) (a_{n+1}T_n)^{\alpha}+o\left((a_{n+1}T_n)^{\alpha}\right)}Or {\displaystyle\lim_{+\infty} a_nT_n=1} et {a_{n+1}T_n\sim a_{n+1}T_{n+1}}.

    Il en découle {\displaystyle\lim_{+\infty}(T_{n+1}^{\alpha+1}-T_n^{\alpha+1})=\alpha+1}.

    Ainsi {T_n^{\alpha+1}\sim n (\alpha+1)} (Césrao), donc {T_n\sim (n(\alpha+1))^{\frac{1}{\alpha+1}}}.

    Or {a_n\sim \dfrac{1}{T_n}}, et finalement : {a_n\sim \left(n(\alpha+1)\right)^{-1/(\alpha+1)}}.

    Dans le cas où {\alpha=1} on retrouve {a_n\sim\dfrac {1}{\sqrt{2n}}.}

    De même si {\alpha=0} on retrouve {a_n\sim\dfrac {1}{n}}.