Dans une quartique, le nombre d’or

(Exercice d’oral Centrale Mp)
Soit P un polynôme de degré {4}, à coefficients réels.
Soit {(\Gamma)} la courbe de {y=P(x)} dans un repère orthonormé.
On suppose que {(\Gamma)} possède deux points d’inflexion distincts {U} et {V}.
On note {u} et {v} leurs abscisses respectives avec {u\lt v}.
Soit {\Delta}, d’équation {y=\delta(x)}, la droite passant par {U} et {V}.
La droite {\Delta} recoupe {(\Gamma)} en deux points {A} et {B}, d’abscisses {a\lt b}.

  1. Montrer que les segments {[A;B]} et {[U;V]} ont même milieu.
  2. Montrer que {b-a=\sqrt5(v-u)}.
  3. En déduire {\dfrac{UV}{AU}=\dfrac{1+\sqrt5}{2}} (le nombre d’or).

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