Orthogonalité (2/2)

Exercice 1.
Soit {E} un espace préhilbertien sur {\mathbb{R}}. Soit {p} un projecteur de {E}.
Montrer que les deux conditions suivantes sont équivalentes :

  • (a) Le noyau de {p} et l’image de {p} sont deux sous-espaces orthogonaux.
  • (b) Pour tout vecteur {x} de {E}, {\left\|{p(x)}\right\|\le\left\|{x}\right\|}.

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Exercice 2.
Pour tous réels a,b, on pose {I_{a,b}=\displaystyle\int_{0}^{1}(t\ln t-at-b)^2\,\text{d}t}.
Calculer le minimum de {I_{a,b}} et dire quand ce minimum est atteint.
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Exercice 3.
Soit {F\subset\mathbb{R}^4} (euclidien) d’équations {\begin{cases}x+y+z+t=0\cr x-y+z-t=0\end{cases}}
Déterminer la projection orthogonale sur {F}, par deux méthodes différentes.
Calculer la distance {d(u,F)} de {u\in\mathbb{R}^4} au sous-espace {F}.
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