Orthogonalité (1/2)

Exercice 1.
Soit {E} un espace préhilbertien sur {\mathbb{R}}.
On suppose qu’il existe {e_1,\ldots,e_n} unitaires tels que : {\forall\, x\in E,\;\left\|{x}\right\|^2=\displaystyle\sum_{k=1}^n\left({e_k}\mid{x}\right)^2}

  1. Montrer que les vecteurs {e_k} sont orthogonaux deux à deux.
  2. Montrer que ces vecteurs forment une base orthonormée de {E}.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
 Vous devez être abonné(e) et connecté(e) au site pour voir ce contenu 

Exercice 2.
Soit {E} un espace préhilbertien réel. Soient {u,v} dans {E}.
On suppose que, pour tout {\lambda} de {\mathbb{R}}, {\left\|{u+\lambda v}\right\|\geq\left\|{u}\right\|}.
Montrer que {u} et {v} sont orthogonaux.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
 Vous devez être abonné(e) et connecté(e) au site pour voir ce contenu 

Exercice 3.
Soit {E} un espace vectoriel euclidien. Soit {f} un endomorphisme de {E} qui “conserve l’orthogonalité”, c’est-à-dire tel que : {\forall (u,v)\in E^2,\;\left({u}\mid{v}\right)\,=0\Rightarrow\ \left({f(u)}\mid{f(v)}\right)\,=0}Montrer que : {\exists\lambda\ge0,\;\forall u\in E,\;\left\|{f(u)}\right\|=\lambda\left\|{u}\right\|}.
(si {\lambda>0}, on dit que {f} est une similitude de rapport {\lambda}).
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
 Vous devez être abonné(e) et connecté(e) au site pour voir ce contenu