Formes linéaires coordonnées

NB: les trois exercices suivants sont hors-programme en MPSI.

Exercice 1.
Soient {\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3} les formes linéaires définies sur {\mathbb{K}^3} par : {\forall u=(x,y,z)\in\mathbb{K}^3,\;\begin{cases}\varphi_1(u)=x+2y+3z\\\varphi_2(u)=2x+5y+4z\\\varphi_3(u)=x+3y+2z\end{cases}}

  1. Montrer que {(\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3)} forment une base de {\mathcal{L}(\mathbb{K}^3,\mathbb{K})}.
  2. Trouver la base {(u_1,u_2,u_3)} de {\mathbb{K}^{3}} pour laquelle {\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3} sont les applications coordonnées.

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Exercice 2.
Sur {E=\mathbb{R}_3[X]} on définit les applications {f_j:P\rightarrow\displaystyle\int_0^1t^jP(t)\,\text{d}t}.

  1. Montrer que {(\varepsilon^{*})=f_0,f_1,f_2,f_3} est une base de {\mathcal{L}(\mathbb{R}_3[X],\mathbb{R})}.
  2. De quelle base {(\varepsilon)} de {E} les applications {f_0,f_1,f_2,f_3} sont-elles les applications coordonnées?

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Exercice 3.
Soient {(e),(\varepsilon)} deux bases de {E} ({\dim E=n}), et {(e^{*}),(\varepsilon^{*})} les bases respectives de leurs formes linéaires coordonnées. Soit {P} la matrice de passage de {(e)} à {(\varepsilon)} et {P^{*}} celle de {(e^{*})} à {(\varepsilon^{*})}. Exprimer {P} en fonction de {P^{*}}.
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