Déterminants d’ordre n+1 (2/2)

Exercice 1.
Calculer le déterminant {D_{n+1}=\begin{vmatrix}0&1&2&\ldots&n\\1&0&1&\ddots&\vdots\\2&\ddots&\ddots&\ddots&2\\\vdots&\ddots&1&0&1\\n&\ldots&2&1&0\end{vmatrix}}
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Exercice 2.
Soit {P} un polynôme de degré strictement inférieur à {n}.

Calculer {D=\begin{vmatrix}P(x)&P(x\!+\!1)&\ldots&P(x\!+\!n)\\P(x\!+\!1)&P(x\!+\!2)&\ldots&P(x\!+\!n\!+\!1)\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\P(x\!+\!n)&P(x\!+\!n\!+\!1)&\ldots&P(x\!+\!2n)\end{vmatrix}}

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Exercice 3.
Calculer le déterminant {D_{n+1}=\begin{vmatrix}1&\cos\,\theta_0&\cos2\,\theta_0&\ldots&\cos n\,\theta_0\\1&\cos\,\theta_1&\cos2\,\theta_1&\ldots&\cos n\,\theta_1\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\1&\cos\,\theta_n&\cos2\,\theta_n&\ldots&\cos n\,\theta_n\end{vmatrix}}
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Exercice 4.
Calculer le déterminant {\Delta_n(\,\theta)} de {A_n=(a_{ij})_{1\,\le\,i,j\,\le\,n}} avec : {a_{ii}=2,\quad a_{i-1,j}=a_{i+1,j}=\cos\theta,\quad a_{ij}=0\text{\ sinon}}
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