Déterminants d’ordre 3 ou 4 (3/3)

Exercice 1.
Calculer (et factoriser) le déterminant {D=\begin{vmatrix}-a&b&c&d\\ b&-a&d&c\\ c&d&-a&b\\ d&c&b&-a\end{vmatrix}}
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Exercice 2.
Calculer (et factoriser) le déterminant {D=\begin{vmatrix}x&y&z&t\\ -y&x&-t&z\\ -z&t&x&-y&\\-t&-z&y&x\end{vmatrix}}
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Exercice 3.
Calculer (et factoriser) le déterminant {D=\begin{vmatrix}1&a&a^2&a^4\\ 1&b&b^2&b^4\\ 1&c&c^2&c^4\\ 1&d&d^2&d^4\end{vmatrix}}
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Exercice 4.
Soient {a,b,c,d} des vecteurs de {\mathbb{R}^3}.

Calculer le déterminant {D=\begin{vmatrix}\|a\|^2& a\cdot b& a\cdot c& a\cdot d\\b\cdot a&\|b\|^2&b\cdot c&b\cdot d\\c\cdot a&c\cdot b&\|c\|^2&c\cdot d\\d\cdot a&d\cdot b&d\cdot c& \|d\|^2\end{vmatrix}}.

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Exercice 5.
On reprend l’exercice précédent en supposant que {a,b,c,d} sont dans {\mathbb{R}^4}. Montrer que si {a,b,c,d} sont liés alors {D=0}, et que dans le cas contraire {D>0}.
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