Déterminants d’ordre 3 ou 4 (1/3)

Exercice 1.
Calculer (et factoriser) le déterminant {D=\begin{vmatrix}0&1&1&1\\1&0&c^2&b^2\\1&c^2&0&a^2\\1&b^2&a^2&0\end{vmatrix}}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
On retranche par exemple la colonne {\text{C}3} aux colonnes {\text{C}2} et {\text{C}4}.

On peut alors développer par rapport à la ligne {\text{L}1} : {\begin{array}{rl}D&=\begin{vmatrix}0&1&1&1\\1&0&c^2&b^2\\1&c^2&0&a^2\\1&b^2&a^2&0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&0&1&0\\ 1&-c^2&c^2&b^2-c^2\\ 1&c^2&0&a^2\\ 1&b^2-a^2&a^2&-a^2\end{vmatrix}\\\\&=\begin{vmatrix}1&-c^2&b^2-c^2\\ 1&c^2&a^2\\ 1&b^2-a^2&-a^2\end{vmatrix}\end{array}}On soustrait maintenant {\text{L}2} à {\text{L}1} et {\text{L}3} :{\begin{array}{rl}D&=\begin{vmatrix}0&-2c^2&b^2-a^2-c^2\\ 1&c^2&a^2\\ 0&b^2-a^2-c^2&-2a^2\end{vmatrix}\\\\&=(a^2+c^2-b^2)^2-4a^2c^2\\\\&=(a^2+2ac+c^2-b^2)(a^2-2ac+c^2-b^2)\\\\&=\bigl((a+c)^2-b^2\bigr)\bigl((a-c)^2-b^2\bigr)\\\\&=(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(a-b-c)\end{array}}

Exercice 2.
Calculer le déterminant {\Delta=\begin{vmatrix}1 & \cos \,\theta & \cos 2\,\theta \\\cos \,\theta & \cos 2\,\theta & \cos 3\,\theta \\\cos 2\,\theta & \cos 3\,\theta & \cos 4\,\theta\end{vmatrix}}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
On additionne les colonnes {\text{C}1} et {\text{C}3} : {\begin{array}{rl}\text{C}1+\text{C}3&=\begin{pmatrix}1+\cos2\,\theta\\\cos\,\theta+\cos3\,\theta\\\cos2\,\theta+\cos4\,\theta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cos^2\,\theta\\2\cos\,\theta\cos2\,\theta\\2\cos\,\theta\cos3\,\theta\end{pmatrix}\\\\&=2\cos\,\theta\begin{pmatrix}\cos\,\theta\\\cos2\,\theta\\\cos3\,\theta\end{pmatrix}=(2\cos\,\theta)\text{C}2\end{array}}Ainsi les trois colonnes de {\Delta} sont liées, donc {\Delta=0}.

Exercice 3.
Calculer le déterminant {\Delta=\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\5 & 1 & 2 & 3 & 4 \\4 & 5 & 1 & 2 & 3 \\3 & 4 & 5 & 1 & 2 \\2 & 3 & 4 & 5 & 1\end{vmatrix}}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
On ajoute toutes les lignes à la première.

Ensuite on factorise la somme (constante) obtenue.

Puis on effectue successivement les opérations : {\begin{cases}\text{C}5\leftarrow\text{C}5-\text{C}4\\\text{C}4\leftarrow\text{C}4-\text{C}3\\\text{C}3\leftarrow\text{C}3-\text{C}2\\\text{C}2\leftarrow\text{C}2-\text{C}1\end{cases}}

On obtient alors : {\begin{array}{rl}\Delta&=\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\5 & 1 & 2 & 3 & 4 \\4 & 5 & 1 & 2 & 3 \\3 & 4 & 5 & 1 & 2 \\2 & 3 & 4 & 5 & 1\end{vmatrix}=15\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1\\5 & 1 & 2 & 3 & 4 \\4 & 5 & 1 & 2 & 3 \\3 & 4 & 5 & 1 & 2 \\2 & 3 & 4 & 5 & 1\end{vmatrix}\\\\&=15\begin{vmatrix}1&0 &0 &0 &0\\5&-4&1 &1 &1\\4&1 &-4&1 &1\\3&1 &1 &-4&1\\2&1 &1 &1 &-4\end{vmatrix}\end{array}}On développe par rapport à {\text{L}1}, puis on ajoute toutes les lignes à la première.

Dans le déterminant obtenu, on ajoute la première ligne à toutes les autres : {\begin{array}{rl}\Delta&=15\begin{vmatrix}-4&1 &1 &1\\1 &-4&1 &1\\1 &1 &-4&1\\1 &1 &1&-4\end{vmatrix}=15\begin{vmatrix}-1&-1 &-1 &-1\\1 &-4&1 &1\\1 &1 &-4&1\\1&1&1&-4\end{vmatrix}\\\\&=15\begin{vmatrix}-1&-1 &-1 &-1\\0 &-5&0 &0\\0 &0 &-5&0\\0 &0&0&-5\end{vmatrix}\end{array}}On est arrivé à un déterminant triangulaire. Ainsi {\Delta=15\cdot5^3=1875}.

Exercice 4.
Calculer le déterminant {\Delta=\begin{vmatrix}b+c& c+a& a+b\\ b^2+c^2& c^2+a^2& a^2+b^2\\ b^3+c^3& c^3+a^3& a^3+b^3\end{vmatrix}}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Notons respectivement {A=\begin{pmatrix}a\\ a^2\\ a^3\end{pmatrix}}, {B=\begin{pmatrix}b\\ b^2\\ b^3\end{pmatrix}}, et {C=\begin{pmatrix}c\\ c^2\\ c^3\end{pmatrix}}.

Ainsi {\Delta=\det(B+C,C+A,A+B)} (dans la base canonique de {\mathbb{K}^3}).

On développe par trilinéarité, sachant qu’un déterminant ayant deux colonnes égales est nul.

On obtient l’égalité : {\Delta=\det(B,C,A)+\det(C,A,B)=2\det(A,B,C)}D’autre part, par factorisation dans chaque colonnes: {\det(A,B,C)=\begin{vmatrix}a &b&c\\ a^2&b^2&c^2\\ a^3&b^3&c^3\end{vmatrix}=abc\begin{vmatrix}1 &1&1\\ a&b&c\\ a^2&b^2&c^2\end{vmatrix}}On reconnait un déterminant de Vandermonde.

Ainsi : {\Delta=2abc(b-a)(c-a)(c-b)}.

Exercice 5.
Calculer {D=\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\1&-1&1&-1\end{vmatrix}} puis {\Delta=\begin{vmatrix}a&b&c&d\\ b&a&d&c\\ c&d&a&b\\ d&c&b&a\end{vmatrix}}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
On ajoute toutes les lignes à {\text{L}1} puis on développe par rapport à {\text{L}1} : {\begin{array}{rl}D&=\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\1&-1&1&-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}4&0&0&0\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\1&-1&1&-1\end{vmatrix}\\\\&=4\begin{vmatrix}1&-1&-1\\-1&-1&1\\-1&1&-1\end{vmatrix}=4\begin{vmatrix}1&-1&-1\\0&-2&0\\0&0&-2\end{vmatrix}=16\end{array}}Posons {\begin{cases}\alpha=a+b+c+d,\qquad\beta=a+b-c-d\\\gamma=a-b-c+d\qquad\delta=a-b+c-d\end{cases}}

On constate qu’on a les égalités : {\begin{array}{rl}\Delta D&=\begin{vmatrix}a&b&c&d\\ b&a&d&c\\ c&d&a&b\\d&c&b&a\end{vmatrix}\;\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\1&-1&1&-1\end{vmatrix}\\\\&=\begin{vmatrix}\alpha&\beta&\gamma&\delta\\\alpha&\beta&-\gamma&-\delta\\\alpha&-\beta&-\gamma&\delta\\\alpha&-\beta&\gamma&-\delta\end{vmatrix}=\alpha\beta\gamma\delta D\end{array}}Puisque {D\ne0}, on en déduit la valeur de {\Delta} : {\Delta=(a\!+\!b\!+\!c\!+\!d)(a\!+\!b\!-\!c\!-\!d)(a\!-\!b\!-\!c\!+\!d)(a\!-\!b\!+\!c\!-\!d)}