Une suite implicite paramétrée

(Oral Centrale 2018)
On pose, pour

{t\geq 0}

{n\in\mathbb{N}}

{f_{n}(t)=\dfrac{e^{t}}{1+t^{n}}\;\text{et}\;\Phi _{n}(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f_{n}(t)\text{d}t}

Étudier la convergence de la suite ${(f_{n})}$ .
Soit ${\alpha >0}$ . Montrer : ${\exists\,!\;x_{n}(\alpha )\in\mathbb{R}^{+},\;\Phi _{n}(x_{n}(\alpha ))=\alpha}$ .
Donner ${\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_{n}(\alpha)}$ quand ${\begin{cases}\alpha>e-1\\\alpha\lt e-1\end{cases}}$

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