Exercices corrigés
| Exercice 1. (le « ou exclusif ») Former la table de vérité de la proposition :{C=(A\vee B)\wedge \neg(A\wedge B)}Donner une autre expression de {C}. |
| Exercice 2. (tautologies) Soient {A} et {B} deux propositions. Montrer que {C,D,E} sont toujours vraies : {\begin{cases}C=(A\Rightarrow B)\vee(A\Rightarrow\neg B)\\D=(A\Rightarrow(B\Rightarrow A))\\E=\bigl((A\Rightarrow B)\Rightarrow A\bigr)\Rightarrow A\end{cases}} |
| Exercice 3. Prouver que l’équivalence suivante est toujours vraie : {(\mathcal{A}\Rightarrow\mathcal{B})\Leftrightarrow(\overline{\mathcal{A}}\;\text{ou}\;\mathcal{B})} |
| Exercice 4. Prouver que l’équivalence suivante est toujours vraie : {(\mathcal{A}\;\text{ou}\;(\mathcal{B}\;\text{et}\;\mathcal{C}))\Leftrightarrow((\mathcal{A}\;\text{ou}\;\mathcal{B})\;\text{et}\;(\mathcal{A}\;\text{ou}\;\mathcal{C}))} |
| Exercice 5. (chercher le coupable) Un crime a été commis! Il y a trois suspects : Arthur, Ben, Charlie. Une voyante (très fiable) vous donne trois indices : L’un (ou plusieurs) des suspects est-il coupable? |
| Exercice 6. (à qui se fier?) Quatre personnes, nommées {X}, {Y}, {Z} et {T}, peuvent être chacune soit fiable, soit versatile: – Une personne fiable dit toujours la vérité – Une personne versatile peut dire la vérité ou mentir – Chacune sait si les autres sont fiables ou non Voici ce que vous disent les personnes {X,Y,Z}: Par ailleurs, on sait qu’il y a au moins un fiable. Déterminer les fiables et les versatiles. |
| Exercice 7. (Sheffer, connecteur à tout faire) Le connecteur de Sheffer, noté {\mid}, est défini par {X\mid Y=\neg(X\wedge Y)=\neg X\vee\neg Y}Donner sa table de vérité, et montrer que tous les connecteurs logiques {\wedge,\vee,\Rightarrow,\neg,\Leftrightarrow} peuvent s’exprimer à l’aide du seul connecteur de Sheffer. |