Tableaux de vérité

Exercice 1. (le « ou exclusif »)
Former la table de vérité de la proposition :{C=(A\vee B)\wedge \neg(A\wedge B)}Donner une autre expression de {C}.
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Exercice 2. (tautologies)
Soient {A} et {B} deux propositions.
Montrer que {C,D,E} sont toujours vraies :
{\begin{cases}C=(A\Rightarrow B)\vee(A\Rightarrow\neg B)\\D=(A\Rightarrow(B\Rightarrow A))\\E=\bigl((A\Rightarrow B)\Rightarrow A\bigr)\Rightarrow A\end{cases}}
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Exercice 3.
Prouver que l’équivalence suivante est toujours vraie : {(\mathcal{A}\Rightarrow\mathcal{B})\Leftrightarrow(\overline{\mathcal{A}}\;\text{ou}\;\mathcal{B})}
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Exercice 4.
Prouver que l’équivalence suivante est toujours vraie : {(\mathcal{A}\;\text{ou}\;(\mathcal{B}\;\text{et}\;\mathcal{C}))\Leftrightarrow((\mathcal{A}\;\text{ou}\;\mathcal{B})\;\text{et}\;(\mathcal{A}\;\text{ou}\;\mathcal{C}))}
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Exercice 5. (chercher le coupable)
Un crime a été commis!
Il y a trois suspects : Arthur, Ben, Charlie.

Une voyante (très fiable) vous donne trois indices :
– « Arthur est innocent ou Ben est coupable »
– « Si Ben est coupable, Arthur et Charlie sont innocents »
– « Arthur ou Charlie est coupable »

L’un (ou plusieurs) des suspects est-il coupable?
Si oui, le(s)quel(s)?

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Exercice 6. (à qui se fier?)
Quatre personnes, nommées {X}, {Y}, {Z} et {T}, peuvent être chacune soit fiable, soit versatile:
– Une personne fiable dit toujours la vérité
– Une personne versatile peut dire la vérité ou mentir
– Chacune sait si les autres sont fiables ou non

Voici ce que vous disent les personnes {X,Y,Z}:
(1) : {X} dit « {Z} est fiable »
(2) : {Y} dit « {Z} est versatile et {T} est fiable »
(3) : {Z} dit « {Y} est fiable »;
(4) : {T} dit « {X} est versatile et {Y} est fiable »

Par ailleurs, on sait qu’il y a au moins un fiable. Déterminer les fiables et les versatiles.

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Exercice 7. (Sheffer, connecteur à tout faire)
Le connecteur de Sheffer, noté {\mid}, est défini par {X\mid Y=\neg(X\wedge Y)=\neg X\vee\neg Y}Donner sa table de vérité, et montrer que tous les connecteurs logiques {\wedge,\vee,\Rightarrow,\neg,\Leftrightarrow} peuvent s’exprimer à l’aide du seul connecteur de Sheffer.
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