| Exercice 1. Déterminer les {f\in\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}^{+*}\times\mathbb{R},\mathbb{R})} telles que {(E):x \dfrac{\partial f}{\partial x}+y \dfrac{\partial f}{\partial y}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}} Indication : passer en coordonnées polaires. |
| Exercice 2. Déterminer les {f\in\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{+*},\mathbb{R})} telles que {(E):y \dfrac{\partial f}{\partial x}-x \dfrac{\partial f}{\partial y}=f} Indication : passer en coordonnées polaires. |
| Exercice 3. Déterminer les {f\in\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}^{2},\mathbb{R})} telles que {\dfrac{\partial f}{\partial x}(x, y)+\dfrac{\partial f}{\partial y}(x, y)=f(x, y)} Indication : poser {u=x+y\;\text{et}\; v=x-y}. |
| Exercice 4. Déterminer les {f\in\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}^{2},\mathbb{R})} telles que {(E):\dfrac{\partial f}{\partial x}+\dfrac{\partial f}{\partial y}=f} Indication : poser {u=x\;\text{et}\; v=y-x}. |