Relations d'ordre

Exercices corrigés

Exercice 1.
Soient

{E,F}

deux ensembles ordonnés, et

{A}

une partie non vide de

{E}

.
Soit

{f}

une application croissante de

{E}

dans

{F}

.
Montrer que si

{\max(A)}

existe, alors

{\max(f(A))}

existe et vaut

{f(\max A)}

.
Est-ce encore vrai si on remplace «

{\max}

» par «

{\sup}

« ?

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Exercice 2.
Soient

{\mathcal{R},\mathcal{S}}

deux relations d’ordre total sur

{E}

On définit la relation ${\mathcal{T}}$ sur ${E}$ par : ${x\mathcal{T}y\Leftrightarrow (x\mathcal{R}y\;\text{et}\;\ x\mathcal{S} y)}$ .
Est-ce une relation d’ordre (total, partiel)?
Même question en définissant : ${x\,\mathcal{U}\,y\Leftrightarrow (x\mathcal{R}y\;\text{ou}\;\ x\mathcal{S}y)}$ .

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Exercice 3.
Sur

{\mathbb{R}\times\mathbb{R}}

, on définit deux relations

{\mathcal{R},\mathcal{S}}

par :

{\begin{cases}(x,y)\mathcal{R}(x',y')\Leftrightarrow x\le x'\;\text{et}\;y\le y'\\(x,y)\mathcal{S}(x',y')\!\Leftrightarrow\!(x\!\lt\!x')\,\text{ou}\,(x\!=\!x',y\!\le\!y')\end{cases}}

Est-ce que

{\mathcal{R}}

{\mathcal{S}}

sont des relations d’ordre?

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Exercice 4.
Soient

{E,F}

deux ensembles ordonnés (l’ordre de

{E}

étant total).
Soit

{f:E\rightarrow F}

, croissante.
Montrer que

{f}

est injective si et seulement si elle est strictement croissante.
Que dire si on ne suppose pas que

{E}

est totalement ordonné?

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Exercice 5.
Cet exercice est connu sous le nom de « problème des hussards ».
Soit

{(a_{ij})_{1\le i\le n,\,1\le j\le p}}

une famille de

{np}

réels.
Comparer

{A=\displaystyle\min_{1\le i\le n}\;(\displaystyle\max_{1\le j\le p} a_{i,j})}

{B=\displaystyle\max_{1\le j\le p}\;(\displaystyle\min_{1\le i\le n} a_{i,j})}

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