| Exercice 1. Soient {E,F} deux ensembles ordonnés, et {A} une partie non vide de {E}. Soit {f} une application croissante de {E} dans {F}. Montrer que si {\max(A)} existe, alors {\max(f(A))} existe et vaut {f(\max A)}. Est-ce encore vrai si on remplace “{\max}” par “{\sup}“? |
| Exercice 2. Soient {\mathcal{R},\mathcal{S}} deux relations d’ordre total sur {E}.
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| Exercice 3. Sur {\mathbb{R}\times\mathbb{R}}, on définit deux relations {\mathcal{R},\mathcal{S}} par : {\begin{cases}(x,y)\mathcal{R}(x’,y’)\Leftrightarrow x\le x’\;\text{et}\;y\le y’\\(x,y)\mathcal{S}(x’,y’)\!\Leftrightarrow\!(x\!\lt\!x’)\,\text{ou}\,(x\!=\!x’,y\!\le\!y’)\end{cases}}Est-ce que {\mathcal{R}} et {\mathcal{S}} sont des relations d’ordre? |
| Exercice 4. Soient {E,F} deux ensembles ordonnés (l’ordre de {E} étant total). Soit {f:E\rightarrow F}, croissante. Montrer que {f} est injective si et seulement si elle est strictement croissante. Que dire si on ne suppose pas que {E} est totalement ordonné? |
| Exercice 5. Cet exercice est connu sous le nom de “problème des hussards”. Soit {(a_{ij})_{1\le i\le n,\,1\le j\le p}} une famille de {np} réels. Comparer {A=\displaystyle\min_{1\le i\le n}\;(\displaystyle\max_{1\le j\le p} a_{i,j})} et {B=\displaystyle\max_{1\le j\le p}\;(\displaystyle\min_{1\le i\le n} a_{i,j})} |