Exercices corrigés
| Exercice 1. Sur {\mathbb{R}}, on pose : {x{\mathcal R} y\Leftrightarrow x^3-y^3=3(x-y)}.
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| Exercice 2. Soit {E} muni d’une relation {{\mathcal R}} réflexive et transitive. Sur {E}, on pose : {x{\mathcal S}y\Leftrightarrow x{\mathcal R}y\;\text{et}\;y{\mathcal R}x}. Montrer que {\mathcal S} est une relation d’équivalence. |
| Exercice 3. Déterminer l’erreur dans le raisonnement suivant : Si une relation {{\mathcal R}} sur {E} est symétrique et transitive alors elle est réflexive car pour tous {x,y} de {E}, on a l’équivalence {x{\mathcal R}y\Rightarrow y{\mathcal R}x}, puis l’implication {(x{\mathcal R}y\;\text{et}\; y{\mathcal R}x)\Rightarrow x{\mathcal R}x} |
| Exercice 4. Dans {\mathbb{R}^2}, on pose {(x,y){\mathcal R}(z,t)\Leftrightarrow xy=zt}. La relation {\mathcal R} est-elle d’équivalence ? Si oui quelles sont les classes d’équivalence ? Même question avec {(x,y){\mathcal S}(z,t)\Leftrightarrow \begin{cases}xy=zt&\cr xz\ge0&\end{cases}} |
| Exercice 5. On se place dans le plan {\mathcal P} d’origine {O}. La relation « {M{\mathcal R}N\Leftrightarrow O,M,N} sont alignés » est-elle d’équivalence? Même question en remplace {\mathcal P} par {{\mathcal P}-\{O\}}. |