Relations d’équivalence (1/2)

Exercices corrigés


Exercice 1.
Sur {\mathbb{R}}, on pose : {x{\mathcal R} y\Leftrightarrow x^3-y^3=3(x-y)}.

  1. Montrer que {{\mathcal R}} est une relation d’équivalence.
  2. Pour tout réel {x}, déterminer le cardinal de la classe de {x}.

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Exercice 2.
Soit {E} muni d’une relation {{\mathcal R}} réflexive et transitive.
Sur {E}, on pose : {x{\mathcal S}y\Leftrightarrow x{\mathcal R}y\;\text{et}\;y{\mathcal R}x}.
Montrer que {\mathcal S} est une relation d’équivalence.
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Exercice 3.
Déterminer l’erreur dans le raisonnement suivant :
Si une relation {{\mathcal R}} sur {E} est symétrique et transitive alors elle est réflexive car pour tous {x,y} de {E}, on a l’équivalence {x{\mathcal R}y\Rightarrow y{\mathcal R}x}, puis l’implication {(x{\mathcal R}y\;\text{et}\; y{\mathcal R}x)\Rightarrow x{\mathcal R}x}
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Exercice 4.
Dans {\mathbb{R}^2}, on pose {(x,y){\mathcal R}(z,t)\Leftrightarrow xy=zt}.
La relation {\mathcal R} est-elle d’équivalence ?
Si oui quelles sont les classes d’équivalence ?
Même question avec {(x,y){\mathcal S}(z,t)\Leftrightarrow \begin{cases}xy=zt&\cr xz\ge0&\end{cases}}
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Exercice 5.
On se place dans le plan {\mathcal P} d’origine {O}.
La relation « {M{\mathcal R}N\Leftrightarrow O,M,N} sont alignés » est-elle d’équivalence?
Même question en remplace {\mathcal P} par {{\mathcal P}-\{O\}}.
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Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.