Exercices corrigés
| Exercice 1. Soit {\mathcal R} une relation réflexive et symétrique sur {E}. On définit la relation {\mathcal S} par : {x\,{\mathcal S}\,y} s’il existe une suite finie {x_0,x_1,\ldots,x_n} d’éléments de {E} (avec {n\ge1}) tels que {x_0=x}, {x_n=y}, et {x_p\,{\mathcal R}\,x_{p+1}} pour tout {0\le p\le n-1}. Montrer que {\mathcal S} est une relation d’équivalence. |
| Exercice 2. Soient {\mathcal R},{\mathcal S} deux relations d’équivalence sur {E}. On pose : {x\,{\mathcal S}\circ{\mathcal R}\,y\Leftrightarrow\exists\, z,x\,{\mathcal R}\,z\;\text{et}\;z\,{\mathcal S}\,y}Montrer que {\,{\mathcal S}\circ{\mathcal R}\,} est d’équivalence si et seulement si {\,{\mathcal S}\circ{\mathcal R}\,=\,{\mathcal R}\circ{\mathcal S}\,}. |
| Exercice 3. Sur {\mathbb{N}\times\mathbb{N}^*}, on pose {(m,n)\,{\mathcal R}\,(p,q)\Leftrightarrow mq=np}. Est-ce une relation d’équivalence ? Même question en remplaçant {\mathbb{N}\times\mathbb{N}^*} par \mathbb{N}^2. |
| Exercice 4. Quelle est la seule relation sur {E} à la fois réflexive, symétrique, antisymétrique ? |
| Exercice 5. Soit {\mathcal R} une relation sur un ensemble {E}. Montrer que {\mathcal R} est d’équivalence si et seulement si {\mathcal R} est réflexive et, pour tous éléments {x,y,z} de {E}, on a : {(x\,{\mathcal R}\,y\;\text{et}\;y\,{\mathcal R}\,z)\Rightarrow z\,{\mathcal R}\,x}. |
| Exercice 6. Soit {{\mathcal M}} une partie non vide de {{\mathcal P}(E)} telle que : {\forall\, X,Y\in {\mathcal M},\exists\, Z\in{\mathcal M},Z\subset X\cap Y}On définit une relation {\mathcal R} sur {{\mathcal P}(E)} par :{A\,{\mathcal R}\,B\Leftrightarrow\exists\, X\in{\mathcal M},A\cap X=B\cap X}Montrer que {\mathcal R} est une relation d’équivalence. |
| Exercice 7. Soit {E} un ensemble fini. On définit {\mathcal R} sur {{\mathcal P}(E)} par : {A\,{\mathcal R}\,B\Leftrightarrow\text{Card}(A\Delta B)} est pair. La relation {\mathcal R} est-elle une relation d’équivalence? |