Relations d'équivalence (2/2)

Exercices corrigés

Exercice 1.
Soit

{\mathcal R}

une relation réflexive et symétrique sur

{E}

. On définit la relation

{\mathcal S}

par :

{x\,{\mathcal S}\,y}

s’il existe une suite finie

{x_0,x_1,\ldots,x_n}

d’éléments de

{E}

(avec

{n\ge1}

) tels que

{x_0=x}

{x_n=y}

, et

{x_p\,{\mathcal R}\,x_{p+1}}

pour tout

{0\le p\le n-1}

.
Montrer que

{\mathcal S}

est une relation d’équivalence.

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Exercice 2.
Soient

{\mathcal R},{\mathcal S}

deux relations d’équivalence sur

{E}

.
On pose :

{x\,{\mathcal S}\circ{\mathcal R}\,y\Leftrightarrow\exists\, z,x\,{\mathcal R}\,z\;\text{et}\;z\,{\mathcal S}\,y}

Montrer que

{\,{\mathcal S}\circ{\mathcal R}\,}

est d’équivalence si et seulement si

{\,{\mathcal S}\circ{\mathcal R}\,=\,{\mathcal R}\circ{\mathcal S}\,}

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Exercice 3.
Sur

{\mathbb{N}\times\mathbb{N}^*}

, on pose

{(m,n)\,{\mathcal R}\,(p,q)\Leftrightarrow mq=np}

.
Est-ce une relation d’équivalence ?
Même question en remplaçant

{\mathbb{N}\times\mathbb{N}^*}

par

\mathbb{N}^2

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Exercice 4.
Quelle est la seule relation sur

{E}

à la fois réflexive, symétrique, antisymétrique ?

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Exercice 5.
Soit

{\mathcal R}

une relation sur un ensemble

{E}

.
Montrer que

{\mathcal R}

est d’équivalence si et seulement si

{\mathcal R}

est réflexive et, pour tous éléments

{x,y,z}

{E}

, on a :

{(x\,{\mathcal R}\,y\;\text{et}\;y\,{\mathcal R}\,z)\Rightarrow z\,{\mathcal R}\,x}

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Exercice 6.
Soit

{{\mathcal M}}

une partie non vide de

{{\mathcal P}(E)}

telle que :

{\forall\, X,Y\in {\mathcal M},\exists\, Z\in{\mathcal M},Z\subset X\cap Y}

On définit une relation

{\mathcal R}

sur

{{\mathcal P}(E)}

par :

{A\,{\mathcal R}\,B\Leftrightarrow\exists\, X\in{\mathcal M},A\cap X=B\cap X}

Montrer que

{\mathcal R}

est une relation d’équivalence.

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Exercice 7.
Soit

{E}

un ensemble fini.
On définit

{\mathcal R}

sur

{{\mathcal P}(E)}

par :

{A\,{\mathcal R}\,B\Leftrightarrow\text{Card}(A\Delta B)}

est pair.
La relation

{\mathcal R}

est-elle une relation d’équivalence?

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