Relations d’équivalence (2/2)

Exercices corrigés


Exercice 1.
Soit {\mathcal R} une relation réflexive et symétrique sur {E}. On définit la relation {\mathcal S} par : {x\,{\mathcal S}\,y} s’il existe une suite finie {x_0,x_1,\ldots,x_n} d’éléments de {E} (avec {n\ge1}) tels que {x_0=x}, {x_n=y}, et {x_p\,{\mathcal R}\,x_{p+1}} pour tout {0\le p\le n-1}.
Montrer que {\mathcal S} est une relation d’équivalence.
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Exercice 2.
Soient {\mathcal R},{\mathcal S} deux relations d’équivalence sur {E}.
On pose : {x\,{\mathcal S}\circ{\mathcal R}\,y\Leftrightarrow\exists\, z,x\,{\mathcal R}\,z\;\text{et}\;z\,{\mathcal S}\,y}Montrer que {\,{\mathcal S}\circ{\mathcal R}\,} est d’équivalence si et seulement si {\,{\mathcal S}\circ{\mathcal R}\,=\,{\mathcal R}\circ{\mathcal S}\,}.
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Exercice 3.
Sur {\mathbb{N}\times\mathbb{N}^*}, on pose {(m,n)\,{\mathcal R}\,(p,q)\Leftrightarrow mq=np}.
Est-ce une relation d’équivalence ?
Même question en remplaçant {\mathbb{N}\times\mathbb{N}^*} par \mathbb{N}^2.
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Exercice 4.
Quelle est la seule relation sur {E} à la fois réflexive, symétrique, antisymétrique ?
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Exercice 5.
Soit {\mathcal R} une relation sur un ensemble {E}.
Montrer que {\mathcal R} est d’équivalence si et seulement si {\mathcal R} est réflexive et, pour tous éléments {x,y,z} de {E}, on a : {(x\,{\mathcal R}\,y\;\text{et}\;y\,{\mathcal R}\,z)\Rightarrow z\,{\mathcal R}\,x}.
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Exercice 6.
Soit {{\mathcal M}} une partie non vide de {{\mathcal P}(E)} telle que : {\forall\, X,Y\in {\mathcal M},\exists\, Z\in{\mathcal M},Z\subset X\cap Y}On définit une relation {\mathcal R} sur {{\mathcal P}(E)} par :{A\,{\mathcal R}\,B\Leftrightarrow\exists\, X\in{\mathcal M},A\cap X=B\cap X}Montrer que {\mathcal R} est une relation d’équivalence.
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Exercice 7.
Soit {E} un ensemble fini.
On définit {\mathcal R} sur {{\mathcal P}(E)} par : {A\,{\mathcal R}\,B\Leftrightarrow\text{Card}(A\Delta B)} est pair.
La relation {\mathcal R} est-elle une relation d’équivalence?
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Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.