Nombres complexes (4/6)

Soit {z} un nombre complexe non nul.

Il existe un unique réel {\rho>0} et une unique classe de réels {\theta} modulo {2\pi}, telle que {z=\rho\,\text{e}^{i\theta}}.
On dit que cette écriture de {z} est sa « forme trigonométrique », ou encore sa « forme polaire ».

Cette classe de réels modulo {2\pi} est appelée l’argument de {z}. Chacun des réels {\theta} qui la compose est appelée une détermination de l’argument de {z} (ou, par abus de langage, un argument de {z}), et on note: {\arg z=\theta~[2\pi]}.

• L’interprétation de l’écriture {z=\rho\text{e}^{i\theta}} est claire : le réel {\rho>0} est le module de {z}, et {\theta} est une mesure de l’angle orienté {\bigl(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{OM}\bigr)}
• Pour tout {z\ne0}, il y a une unique détermination de l’argument dans tout intervalle {]\alpha,\alpha+2\pi]}, et en particulier dans {]-\pi,\pi]} (cette dernière étant appelé détermination principale de l’argument de {z}).
• On a {\rho\text{e}^{i\theta}}, avec {\rho=0} et pour tout réel {\theta}.
  Parler de l’argument de {z=0} n’a donc aucun sens.
• La seule écriture {z=\rho\text{e}^{i\theta}} ne caractérise pas la forme polaire, car il faut imposer {\rho>0}.
  Si {\rho\lt 0}, la forme polaire de {\rho\text{e}^{i\theta}} est {(-\rho)\text{e}^{i(\theta+\pi)}}

Soit {z} un nombre complexe non nul, écrit sous les deux formes {z=x+iy=\rho\text{e}^{i\theta}} ({\rho>0}).

• Dans un sens {\begin{cases}x=\rho\cos\theta\\ y=\rho\sin\theta\end{cases}}.
• Dans l’autre{\begin{cases}\rho=\left|z\right|=\sqrt{x^2+y^2}\\ \cos\theta=\dfrac x\rho,\quad\sin\theta=\dfrac y\rho\end{cases}} (ce qui détermine {\rho}, et {\theta~[2\pi]})
• On note que si {x\ne0} (donc si {z} n’est pas imaginaire pur), alors {\tan\theta=\dfrac yx} (ce qui détermine {\theta~[\pi]})
• Si {z} n’est pas un réel négatif, alors {\tan\dfrac\theta2=\dfrac y{x+\rho}} (ce qui détermine {\theta} modulo {2\pi}).
• Si {z\ne0}, mais si on n’est pas certain du signe de {\rho} :{\begin{array}{rl}z=\rho\text{e}^{i\theta}&\Leftrightarrow \Bigl(\rho=|\,z\,|{\;\text{et}\;}\arg z=\theta~[2\pi]\Bigr)\\[6pt]&\text{ou}\;\Bigl(\rho=-|\,z\,|{\;\text{et}\;}\arg z =\theta +\pi~[2\pi]\Bigr)\end{array}}

Soit {z\in\mathbb{C}^*}. On a les équivalences : {\begin{array}{l}\begin{cases}z\text{\ est réel\ }\Leftrightarrow\arg z=0~[\pi]\cr z\text{\ est imaginaire pur\ }\Leftrightarrow\arg z=\dfrac\pi2~[\pi]\end{cases}\\\\\begin{cases}z\in\mathbb{R}^{+*}\Leftrightarrow\arg z=0~[2\pi]\\z\in\mathbb{R}^{-*}\Leftrightarrow\arg z=\pi(2\pi)\end{cases}\end{array}}

Soient {u,v} deux complexes non nuls, écrits sous forme polaire {u=\rho\,\text{e}^{i\theta}} et {v=r\,\text{e}^{i\varphi}} (avec {\rho>0,r>0}).

On a l’égalité: {u\,v=\rho\, r\,\text{e}^{i(\theta+\varphi)}}, qui s’écrit aussi {\left|{u\,v}\right|=\left|{u}\right|\;\left|{v}\right|\;\text{et}\;\arg (uv)=\arg u+\arg v~[2\pi]}

Avec les notations précédentes : {\dfrac1u=\dfrac1\rho\,\text{e}^{-i\theta},\;\overline{u}=\rho\,\text{e}^{-i\theta}\;\text{et}\;\dfrac uv=\dfrac\rho r\,\text{e}^{i(\theta-\varphi)}}En termes d’arguments, on obtient donc :
{\begin{cases}\arg\dfrac1u=\arg\overline{u}=-\arg u~[2\pi]\\[12pt]\arg\dfrac uv=\arg u-\arg v~[2\pi]\end{cases}}Si {n\in\mathbb{Z}}, {u^n=\rho^n\,\text{e}^{in\theta}\Rightarrow\arg u^n=n\,\arg u~[2\pi]}.
On a bien sûr: {\begin{cases}\forall\,\lambda\in\mathbb{R}^{+*},\;\arg\lambda u=\arg u~[2\pi]\\[6pt]\forall\,\lambda\in\mathbb{R}^{-*},\;\arg\lambda u=\arg u+\pi~[2\pi]\end{cases}}Le cas d’égalité dans l’inégalité triangulaire devient :{\left|{u+v}\right|=\left|{u}\right|+\left|{v}\right|\Leftrightarrow\arg u=\arg v~[2\pi]}