L'intégrale de Dirichlet

(Oral Mines-Ponts 2018)
On pose

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{e^{-tx}}{1+t^{2}}\text{d}t}

, et :

{g(x)=\cos x\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\dfrac{\sin t}{t}-\sin x\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\dfrac{\cos t}{t}}

Convergence de ${\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\dfrac{{\sin t}}{t}}$ et ${\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\!\dfrac{\cos t}{t}}$ .
Montrer que ${f\;\text{et}\;g}$ vérifient ${y''+y=\dfrac{1}{x}}$ .
En déduire ${f=g}$ puis ${I=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin t}{t}\,\text{d}t}$ .

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