Exercices corrigés
Exercice 1.
On se donne un entier {n\ge2}.
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Montrer que si deux cycles commutent, leurs supports sont égaux ou disjoints.
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Inversement former deux cycles {\sigma,\sigma'} de même support, tels que {\sigma\circ\sigma'\ne\sigma'\circ\sigma}.
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Exercice 2.
Dans {S_n}, soit {c} la permutation circulaire {(1,2,\ldots,n-1,n)}.
Montrer que les permutations qui commutent avec {c} sont les puissances de {c}. |
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Exercice 3.
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Montrer que dans le groupe symétrique {S_n} (avec {n\ge3}), toute permutation paire est un produit de cycles de longueur {3}.
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Effectuer une telle décomposition pour {\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\cr2&3&4&5&6&7&1\end{pmatrix}}
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Exercice 4.
On se place dans le groupe symétrique {S_n}, avec {n\ge3}. Montrer que toute permutation paire est un produit de cycles du type {c_k=(1,2,k)} avec {3\le k\le n}. |
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Exercice 5.
Soit {\sigma} la permutation définie par :
{\left(\!\!\!\begin{array}{cccccccccccccc}1 \!&\! 2 \!&\! 3 \!&\! 4 \!&\! 5 \!&\! 6 \!&\! 7 \!&\! 8 \!&\! 9 \!&\! 10 \!&\! 11 \!&\! 12 \!&\! 13 \!&\!14\cr 10 \!&\! 5 \!&\! 9 \!&\! 4 \!&\! 14 \!&\! 3 \!&\! 1 \!&\! 11 \!&\! 12 \!&\! 7 \!&\! 13 \!&\! 6 \!&\! 2 \!&\! 8\end{array}\!\!\!\right)}Décomposer {\sigma} en produit de cycles. Calculer {\sigma^{2026}}. |
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