Le groupe symétrique (2/2)

Exercices corrigés


Exercice 1.
On se donne un entier {n\ge2}.

  1. Montrer que si deux cycles commutent, leurs supports sont égaux ou disjoints.
  2. Inversement former deux cycles {\sigma,\sigma'} de même support, tels que {\sigma\circ\sigma'\ne\sigma'\circ\sigma}.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écran, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).

Exercice 2.
Dans {S_n}, soit {c} la permutation circulaire {(1,2,\ldots,n-1,n)}.
Montrer que les permutations qui commutent avec {c} sont les puissances de {c}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écran, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).

Exercice 3.

  1. Montrer que dans le groupe symétrique {S_n} (avec {n\ge3}), toute permutation paire est un produit de cycles de longueur {3}.
  2. Effectuer une telle décomposition pour {\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\cr2&3&4&5&6&7&1\end{pmatrix}}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écran, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).

Exercice 4.
On se place dans le groupe symétrique {S_n}, avec {n\ge3}. Montrer que toute permutation paire est un produit de cycles du type {c_k=(1,2,k)} avec {3\le k\le n}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écran, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).