Intégrale de exp(i x^2) de 0 à +∞

(Oral Mines-Ponts)
On pose {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\dfrac{e^{-x^{2}(t^{2}-i)}}{t^{2}-i}dt}.
On rappelle que : {\displaystyle\int_0^{+\infty}\!\!\!e^{-t^2}\,\text{d}t=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}}

  1. Trouver le domaine de définition de {f}.
  2. Montrer que la restriction de {f} à {\mathbb{R}^+} est {\mathcal{C}^{1}}.
  3. Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!e^{ix^{2}}dx} existe et la calculer.

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