Injections et surjections

Exercices corrigés

Exercice 1.
Soient

{f:E\rightarrow F}

{g:F\rightarrow G}

deux applications.
Montrer les implications suivantes :

Si ${g\circ f}$ est surjective alors ${g}$ est surjective
Si ${g\circ f}$ est injective alors ${f}$ est injective
Si ${g\circ f}$ est surjective et ${g}$ injective, alors ${f}$ est surjective
Si ${g\circ f}$ est injective et ${f}$ surjective, alors ${g}$ est injective

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Exercice 2.
Soit

{f\colon E\to F}

une application. Montrer que

f

est injective si et seulement si

{f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)}

pour toutes parties

{A,B}

{E}

, .

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Exercice 3.
Soit

{f}

une application de

{E}

dans

{F}

.
Soit

{g\colon{\mathcal P}(F)\rightarrow{\mathcal P}(E)}

définie par :

{\forall\, Y\subset F,\;g(Y)=f^{-1}(Y)}

Montrer que ${g}$ est injective si et seulement si ${f}$ est surjective.
Montrer que ${g}$ est surjective si et seulement si ${f}$ est injective.

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Exercice 4.
Soit

{f\colon E\to F}

. Montrer que

{f}

est surjective si et seulement si, pour tout ensemble

{G}

et toutes applications

{g,h:F\rightarrow G}

, on a l’implication :

{g\circ f=h\circ f\Rightarrow g=h}

)

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Exercice 5.
Soit

{E}

un ensemble quelconque.
Montrer qu’il n’y a pas de surjection de

{E}

sur

{{\mathcal P}(E)}

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Exercice 6.
Soit

{f}

une application de

{E}

dans

{F}

Montrer que pour tout ${A\subset E}$ , on a ${f^{-1}(f(A))\supset A}$ .
Montrer que pour tout ${B\subset F}$ , on a ${f(f^{-1}(B))=f(E)\cap B}$ .
Prouver que ( ${f}$ injective) ${\Leftrightarrow (\forall\, A\subset E,f^{-1}(f(A))=A)}$ .
Prouver ( ${f}$ surjective) ${\Leftrightarrow \forall\, B\subset F,\;f(f^{-1}(B))=B}$ .

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