Inégalités dans ℝ (1/2)

Exercice 1.
Montrer que, pour tous réels {a,b,c}, on a :
{b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2\ge abc(a+b+c)}
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Exercice 2.

  1. Montrer que, pour tous {a,b,c} dans \mathbb{R}^+, on a : {(b+c)(c+a)(a+b)\ge8abc}
  2. En déduire {(a+b+c)\Bigl(\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c\Bigr)\ge 9}.

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Exercice 3.
Soit {a,b,c} dans {\mathbb{R}^{+*}.\phantom{\Big)}}
Prouver : {\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ca}{c+a}\le\dfrac{a+b+c}2}. Cas d’égalité ?
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Exercice 4.
Soient {a,b,c} des réels tels que {0\le a\le b\le c\le 1} et {c\le a+b}.
Montrer que {0\!\le\!(a\!+\!b\!+\!c)(a\!+\!b\!-\!c)(a\!-\!b\!+\!c)(\!-\!a\!+\!b\!+\!c)\!\le\!3}
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Exercice 5.
Soient {m,n,p} des entiers naturels.
Montrer que {1\le m\le n\Rightarrow\Big(1+\dfrac1n\Big)^m\lt 1+\dfrac mn+\Big(\dfrac mn\Big)^2}
En déduire {\Big(1+\dfrac1n\Big)^n\lt 3}, puis {\Big(1+\dfrac pn\Big)^n\lt 3^p}.
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