Fonctions harmoniques

Soient {f,g,h} dans {\mathcal{C}^{2}(\mathbb{R}^2,\mathbb{R})}.
On suppose {\Delta f=\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}=0}.
On exprime cette propriété en disant que {f} est harmonique.
On suppose en outre que {\dfrac{\partial g}{\partial x}=\varepsilon\dfrac{\partial h}{\partial y}\;\text{et}\;\dfrac{\partial g}{\partial y}=-\varepsilon\dfrac{\partial h}{\partial x}}avec {\varepsilon\in\{-1,1\}}.

  1. Montrer que {g} et {h} sont harmoniques.
  2. Montrer que {F(x,y)=f(g(x,y),h(x,y))} est harmonique.
  3. Montrer que {gh} est harmonique.
  4. Soit {\varphi} une similitude affine de {\mathbb{R}^2}.
    Montrer que {F=f\circ\varphi} est harmonique.

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