Espaces vectoriels (1/3)

On dit que l’ensemble {E} est un espace vectoriel sur {\mathbb{K}} (ou encore un {\mathbb{K}}-espace vectoriel) si :

• {E} est muni d’une loi interne + pour laquelle il a une structure de groupe commutatif.
• Il existe une application {(\alpha,u)\to\alpha u} de {\mathbb{K}\times E} dans {E}, dite loi externe, telle que,
  pour tous {\alpha,\beta} dans {\mathbb{K}}, et pour tous {u,v} dans {E} :
  {\begin{cases}(\alpha\!+\!\beta)u=\alpha u\!+\!\beta u, \ \alpha(u\!+\!v)=\alpha u\!+\!\alpha v\\[3pts] \alpha(\beta u)=(\alpha\beta)u,\qquad\ 1u=u&\end{cases}}

Les éléments d’un {\mathbb{K}}-espace vectoriel {E} sont appelés vecteurs et ceux de {\mathbb{K}}sont appelés scalaires.
Le neutre du groupe ({E},+) est noté {0} (parfois {0_{E}}) et est appelé vecteur nul.
L’espace vectoriel {E} est parfois noté {(E,+,\cdot)} pour rappeler l’existence des deux lois.
Un {\mathbb{C}}-espace vectoriel est aussi un {\mathbb{R}}-espace vectoriel, mais doivent être considérés comme différents.

Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}.
Pour tout scalaire {\alpha} et pour tous vecteurs {u} et {v} :

• on a l’équivalence : {\alpha u=0\Leftrightarrow(\alpha=0\;\text{ou}\; u=0)}.
• on a les égalités : {\begin{cases}\alpha(-u)=(-\alpha)u=-(\alpha u)\\[3pts]\alpha(u-v)=\alpha u-\alpha v\end{cases}}

• L’ensemble {\mathbb{K}[X]} des polynômes à coefficients dans {\mathbb{K}} est un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}.
• L’ensemble {\mathbb{K}} est un espace vectoriel sur lui-même, la loi externe étant ici le produit de {\mathbb{K}}.

Soit {E_1,E_2,\ldots,E_n} des espaces vectoriels sur {\mathbb{K}}.
Soit {E=E_1\times E_2\times\cdots\times E_n} leur produit cartésien.
Alors l’ensemble {E} est muni d’une structure d’espace vectoriel sur {\mathbb{K}} quand on pose,
pour tous {\begin{cases}u=(u_1,u_2,\ldots,u_n)\cr v=(v_1,v_2,\ldots,v_n)\end{cases}} de {E}, et pour tout scalaire {\lambda} : {\begin{cases}u+v=(u_1+v_1,u_2+v_2,\ldots,u_n+v_n)\cr \lambda u=(\lambda u_1,\lambda u_2,\ldots,\lambda u_n)\end{cases}}

Si {E} est un {\mathbb{K}}-espace vectoriel, {E^n} est un {\mathbb{K}}-espace vectoriel.

L’ensemble {\mathbb{K}^n=\{(x_1,x_2,\ldots,x_n),\text{les\ }x_i\in\mathbb{K}\}} est un {\mathbb{K}}-espace vectoriel (et ici {0=(0,0,\ldots,0)}).

Soit {X} un ensemble non vide quelconque, et soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}.
On note {\mathcal{F}(X,E)} (ou {E^{X}}) l’ensemble des applications de {X} dans {E}.
Pour {f,g} dans {\mathcal{F}(X,E)}, et {\lambda} dans {\mathbb{K}}, on définit {f+g} et {\lambda f} par : {\forall x\in X,\;\begin{cases}(f+g)(x)=f(x)+g(x)\\[6pts] (\lambda f)(x)=\lambda f(x)\end{cases}}Avec ces opérations, {\mathcal{F}(X,E)} est un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}.

Le vecteur nul de {\mathcal{F}(X,E)} est « l’application nulle », qui à tout {x} de {X} associe le vecteur nul {0} de {E}.

Pour {X=\mathbb{N}} et {E=\mathbb{K}}, on obtient le {\mathbb{K}}-espace vectoriel {\mathbb{K}^{\mathbb{N}}} des suites d’éléments de {\mathbb{K}}.