(Oral X-Cachan)
Si {f \in{\mathcal C}^{0}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})}, on pose : {\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)(x)=\displaystyle\dfrac{1}{\sqrt\pi}\int_{0}^{x}\dfrac{f(t)\,\text{d}t}{\sqrt{x-t}}}La dérivée de {\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)}, notée {\mathcal{D}_{1\text{/}2}(f)} est appelée demi-dérivée de {f}.
-
Montrer que {\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)\in {\mathcal C}^{0}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})} et :{\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)(x)=\dfrac{1}{\sqrt\pi}\displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{f(x-t)}{\sqrt t}\,\text{d}t}
-
Si {f\in {\mathcal C}^{1}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})}, montrer que {\mathcal{D}_{1\text{/}2}(f)} est définie sur \mathbb{R}^{+*} et : {\mathcal{D}_{1\text{/}2}(f)(x)=\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f')(x)+\dfrac{f(0)}{\sqrt{\pi x}}}
-
Soit {f\colon x\mapsto x^{n}}. Calculer {\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)}.
-
Soit {f\colon x\mapsto x^{n}\sqrt{x}}. Calculer {\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)}.
-
Montrer que si f est polynomiale :
{\begin{array}{l}\mathcal{I}_{1\text{/}2}\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)(x) =\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\,\text{d}t\\\\\mathcal{D}_{1\text{/}2}\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)=f\end{array}}
-
Généraliser (5) à {f} développable en série entière sur tout {\mathbb{R}^{+}}.
|
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :