Calculs sur les matrices carrées

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L’anneau {(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),+,\times)}

• Le neutre additif de l’anneau {\mathcal{M}_n(\mathbb{K})} est la matrice nulle, notée {0} (ou éventuellement {0_{n}}).
  Le neutre multiplicatif de l’anneau {\mathcal{M}_n(\mathbb{K})} est la matrice identité {\text{I}_n}.
• Si {n=1}, on identifie une matrice {A=(a)} avec l’unique scalaire qu’elle contient.
  Dans ce cas, {\mathcal{M}_{1}(\mathbb{K})} s’identifie donc au corps (commutatif) {\mathbb{K}}.
• Il est facile de former des matrices qui ne commutent pas dans {\mathcal{M}_{2}(\mathbb{K})}.
  Par exemple si {A=\begin{pmatrix}0&1\\ 1&0\end{pmatrix}} et {B=\begin{pmatrix}0&2\\1&0 \end{pmatrix}}, alors {AB=\begin{pmatrix}1&0\\0&2 \end{pmatrix}} et {BA=\begin{pmatrix}2&0\\ 0&1 \end{pmatrix}}.

  Si {n\ge2}, l’anneau {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} est non commutatif.
  Il suffit pour le voir d’étendre l’exemple précédent.
  Prenons en effet :{A\!=\!\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots\\ 1&0&0&\cdots\\0&0&0&\ldots\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots\end{pmatrix}\,\text{et}\,B\!=\!\begin{pmatrix}0&2&0&\cdots\\ 1&0&0&\cdots\\0&0&0&\ldots\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots\end{pmatrix}}Avec ces notations : {AB\!=\!\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots\\ 0&2&0&\cdots\\0&0&0&\ldots\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots\end{pmatrix},\,BA\!=\!\begin{pmatrix}2&0&0&\cdots\\ 0&1&0&\cdots\\0&0&0&\ldots\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots\end{pmatrix}}

Propriétés diverses