Exercices corrigés
| Exercice 1. Soient {f:E\rightarrow F}, {g:F\rightarrow G} et {h:G\rightarrow E} trois applications. Montrer que si, parmi les trois applications {h\circ g\circ f}, {g\circ f\circ h} et {f\circ h\circ g}, deux sont surjectives et la troisième injective (ou deux sont injectives et la troisième surjective) alors {f}, {g}, et {h} sont bijectives. |
| Exercice 2. Soit {f\colon E\to E}. Montrer que {f} est bijective si et seulement si pour toute partie {A} de {E}, {f(\overline{A})=\overline{f(A)}} (on note {\overline{A}} le complémentaire de {A} dans {E}). |
| Exercice 3. Soient {f:E\rightarrow F}, {g:F\rightarrow G} et {h:G\rightarrow H} trois applications. Montrer que si {g\circ f} et {h\circ g} sont bijectives, alors {f,g,h} sont bijectives. |
| Exercice 4. Soient {E} un ensemble non vide, et {A,B} deux parties de {E}. On note {[A,A\cup B]=\{X\subset E, A\subset X\subset A\cup B\}}. De même {[A\cap B,B]=\{Y\subset E, A\cap B \subset Y\subset B\}}. On définit {f:[A,A\cup B]\rightarrow [A\cap B,B]} par {f(X)=X\cap B}. On définit {g:[A\cap B,B]\rightarrow [A,A\cup B]} par {g(Y)=Y\cup A}. Montrer que {f,g} sont des bijections réciproques l’une de l’autre. |
| Exercice 5. Soient {A,B} deux parties non vides d’un ensemble {E}. Soit {f\colon {\mathcal P}(E)\to {\mathcal P}(A)\times{\mathcal P}(B)} définie par {f(X)=(X\cap A,X\cap B)}.
|
| Exercice 6. Soit {A} une partie d’un ensemble {E}. On lui associe {\chi_A\colon E\to \{0,1\}} définie par {\chi_A(x)=\begin{cases}1\text{ si }x\in A\\0\text{ si }x\not\in A\end{cases}} Montrer que {A\mapsto\chi_A} est une bijection de {{\mathcal P}(E)} sur {{\mathcal F}(E,\{0,1\})}. |