Exercice (oral Centrale/Supélec)
On pose, pour {n \in \mathbb{N}^*} : {a_n=\dfrac{1 . 3 . 5 \cdots (2n-1)}{2.4.6\cdots(2n)}}.
On définit la fonction {f\colon x\mapsto\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{a_n}{n} x^{2n}}.
Question 1
Exprimer {a_{n+1}} en fonction de {a_n}.
Montrer que : {\forall\, n \geq 1, \; a_{n} \leq \dfrac 1{\sqrt{2n+1}}}.
Exprimer {a_{n+1}} en fonction de {a_n}.
Montrer que : {\forall\, n \geq 1, \; a_{n} \leq \dfrac 1{\sqrt{2n+1}}}.
Question 2
Quel est le domaine de définition de {f} ?
Sur quel domaine est-elle continue?
Quel est le domaine de définition de {f} ?
Sur quel domaine est-elle continue?
Question 3
On pose {S\colon x \in\,]-1,1[\, \mapsto 1+\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}a_n x^{2n}}.
Montrer que {S} vérifie une équation différentielle linéaire d’ordre {1} et en déduire son expression.
On pose {S\colon x \in\,]-1,1[\, \mapsto 1+\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}a_n x^{2n}}.
Montrer que {S} vérifie une équation différentielle linéaire d’ordre {1} et en déduire son expression.
Question 4
Exprimer une primitive de {x \mapsto \dfrac 1{x\sqrt{1-x^2}}-\dfrac 1x}.
Exprimer une primitive de {x \mapsto \dfrac 1{x\sqrt{1-x^2}}-\dfrac 1x}.
Question 5
Montrer que {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{a_n}{n}= 2 \ln(2)}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{a_n}{n}= 2 \ln(2)}.
Question 6
Calculer {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \dfrac{a_n}{n}}.
Calculer {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \dfrac{a_n}{n}}.