Transposition des matrices

Plan du chapitre "Calcul matriciel"

Propriétés de la transposition

Définition (transposée d'une matrice)
Soit

{A}

une matrice de

{\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}

, de terme général

{a_{i,j}}

.
On appelle transposée de

{A}

et on note

{A^{\top}}

la matrice

{B}

{\mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{K})}

de terme général

{b_{i,j}=a_{j,i}}

Remarque : on peut utiliser les deux notations ${A^{\top}}$ ou ${{}^{\text{t}}A}$ .
Si par exemple ${A=\begin{pmatrix}1&4&2&3\cr8&4&3&6\cr7&1&0&5\end{pmatrix}}$ , alors ${A^{\top}=\begin{pmatrix}1&8&7\cr4&4&1\cr2&3&0\cr3&6&5\end{pmatrix}}$ .
Voici comment on peut transposer une matrice avec Python. On notera les deux syntaxes possibles.

>>> A = np.array([[1,4,2,3],[8,4,3,6],[7,1,0,5]])

>>> A

array([[1, 4, 2, 3],

[8, 4, 3, 6],

[7, 1, 0, 5]])

>>> A.transpose() # ou A.T

array([[1, 8, 7],

[4, 4, 1],

[2, 3, 0],

[3, 6, 5]])

Proposition (linéarité et bijectivité de la transposition)
La transposition des matrices induit un isomorphisme de

{\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}

sur

{\mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{K})}

.
Plus précisément, si

{n=p}

, la transposition est un automorphisme involutif de

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

On retiendra que si

{A,B}

ont même format, on a :

{\begin{cases}{(\lambda A+\mu B)}^{\top}=\lambda A^{\top}+\mu B^{\top}\cr {(A^{\top})}^{\top}=A\end{cases}}

Proposition (transposée d'un produit de deux matrices)
Pour

{A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}

, et

{B\in\mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})}

, on a :

{(AB)^{\top}=B^{\top}A^{\top}}

(attention à l’ordre!)

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