Matrices inversibles

Plan du chapitre "Calcul matriciel"

Définition (le groupe des matrices carrées inversibles d'ordre n)
On note

{\text{GL}_{n}(\mathbb{K})}

l’ensemble des matrices de

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

qui sont inversibles pour le produit.
L’ensemble

{\text{GL}_{n}(\mathbb{K})}

est un groupe (non commutatif si

{n\ge2}

) pour le produit des matrices.
En fait

{\text{GL}_{n}(\mathbb{K})}

est le « groupe des inversibles » de l’anneau

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

.
On l’appelle souvent « le groupe linéaire d’indice

{n}

».

Si ${A,B}$ sont inversibles, alors ${AB}$ est inversible et ${(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}$ (ordre important!).

Rappelons que dire que ${A\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}$ est inversible, c’est dire qu’il existe ${B}$ telle que ${AB=BA=I_{n}}$ .

Le produit de ${\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}$ n’étant pas commutatif, il semble indispensable de vérifier les égalités ${AB=I_{n}}$ et ${BA=I_{n}}$ . En fait, la proposition « Caractérisation des matrices inversibles » (voir ci-après) va nous montrer que l’une de ces deux égalités implique l’autre.

Une formule pour l’inverse d’une matrice carrée d’ordre ${2}$

Il n’est pas toujours facile de voir au premier coup d’oeil si une matrice carrée ${A}$ est inversible ou non. En revanche, c’est facile pour les matrices carrées d’ordre ${2}$ :

Proposition (inversibilité d'une matrice carrée d'ordre 2)
Soit

{A=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d \end{pmatrix}}

dans

{\mathcal{M}_{2}(\mathbb{K})}

. Soit

{\Delta=ad-bc}

le « déterminant » de

{A}

.
Alors

{A}

est inversible si et seulement si

{\Delta}

est non nul. Dans ce cas,

{A^{-1}=\dfrac{1}{\Delta}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a \end{pmatrix}}

Par exemple, avec ${A=\begin{pmatrix}1&4\\2&10\end{pmatrix}}$ , on a ${\Delta=2}$ , donc ${A^{-1}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}10&-4\\-2&1\end{pmatrix}}$ .

On reprend cet exemple avec Python, le temps de mettre en garde contre une erreur facile à commettre!

L’expression Python ${1/A}$ désigne en effet non pas l’inverse ${A^{-1}}$ de ${A}$ , mais la matrice dont les coefficients sont les inverses, terme à terme, de ceux de ${A}$ .

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Une formule pour l’inverse d’une matrice carrée d’ordre {2}

Une formule pour l’inverse d’une matrice carrée d’ordre ${2}$