Un endomorphisme symétrique de ℝn[X]

On munit

{E\!=\!\mathbb{R}_{n}[X]}

{\left({P}\!\mid\!{Q}\right)\!\!=\!\!\!\displaystyle\int_{0}^{1}\!\!t^{2}PQ}

On pose également : ${\forall P\in E,\;u(P)\!=\!X(1\!-\!X)P''\!+\!(3\!-\!4X)P'}$

Montrer que ${\left({\cdot}\mid{\cdot}\right)}$ est un produit scalaire, et que ${u}$ est dans $\mathcal{L}(E)$ .
Montrer que ${u}$ est un endomorphisme symétrique de ${E}$ .
Déterminer les valeurs propres de ${u}$ .

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