Intégrabilité de 1/(1+et |sin t|) sur ℝ+

(Oral Centrale Mp)
On pose pour {x \in\, \big]-\text{e}^{-\pi/2},+\infty\big[}, {f(x)=\displaystyle{\int_0^{\pi/2} \dfrac{\,\text{d}t}{1+x \,\text{e}^t \sin(t)}}}.

  1. Justifier cette définition. Montrer que {f} est {{\mathcal C}^{\infty}}, décroissante, convexe.

  2. Montrer que {f(x)\underset{+\infty}{=}g(x)+ \text{O}\Bigl(\dfrac 1x\Bigr)}, où {g(x)=\displaystyle{\int_0^{\pi/2} \dfrac{\,\text{d}t}{1+xt}}}.

    En déduire un équivalent de {f(x)} en {+\infty}.

  3. Soit {\varphi(t)=\dfrac 1{1+\text{e}^t |\sin t|}}. Montrer que : {\displaystyle\int_{n \pi}^{(n+1)\pi}\!\!\! \varphi(t) \,\text{d}t \leq 2 \int_{n \pi}^{n\pi+\pi/2}\!\!\!\!\!\varphi(t) \,\text{d}t}

    En déduire que {\varphi} est intégrable sur {\mathbb{R}^{+}}.

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    • La fonction {t \mapsto \text{e}^{t} \sin(t)} est continue strictement croissante sur {J=\Big[0,\dfrac{\pi}2\Big]}.

      Elle applique bijectivement {J} sur {\bigl[0,\text{e}^{\pi/2}\bigr]}.

      Si {x \geq 0}, on a {1+x \text{e}^{t} \sin(t)>0} donc tout va bien.

      Si {x\lt 0} alors {1+x \text{e}^{t} \sin(t) \geq 1+x\text{e}^{\pi/2}}.

      Ainsi, la condition {x>-\text{e}^{-\pi/2}} assure que {1+x \text{e}^{t} \sin(t)>0} sur {J}.

      Dans les deux cas on intègre une fonction continue sur {J} donc {f(x)} est bien définie.

    • Si les théorèmes usuels sont applicables alors : {f^{(n)}(x)=(-1)^n n! \displaystyle\int_0^{\pi/2} \dfrac{(\text{e}^{t} \sin t)^n}{(1+x \text{e}^{t} \sin(t))^{n+1}}\,\text{d}t}La continuité sous l’intégrale étant acquise, il suffit de majorer uniformément en {x}.

      Si {x \geq 0} alors {\dfrac{1}{1+x \text{e}^{t} \sin(t)}\le1}.

      Si {x \lt 0}, on doit majorer {\dfrac{1}{1+x \text{e}^{t} \sin(t)}} par {\dfrac{1}{1+x \text{e}^{\pi/2}}}.

      Avec {a>-\text{e}^{-\pi/2}} on majore uniformément en {x\ge a} par une fonction intégrable sur {J}.

      En bref : {\forall\, x \in [a,+\infty[, \; \forall\, t \in J, \; \dfrac{1}{1+x \text{e}^{t} \sin(t)} \leq \dfrac{1}{1+a \text{e}^{\pi/2}}}.

      Ainsi {f} est {{\mathcal C}^{\infty}} et l’écriture des dérivées successives est correcte.

      On voit que {f} est décroissante et convexe (sa dérivée seconde est positive).

    • Soit {x> 0}. On a {\text{e}^{t} \sin(t)-t \geq 0} sur {J}.

      On en déduit : {\left|{f(x)-g(x)}\right|=x\displaystyle\int_0^{\pi/2} \dfrac{\text{e}^{t} \sin(t)-t}{(1+x \text{e}^{t} \sin(t))(1+xt)} \,\text{d}t}

      Ainsi {|f(x)-g(x)| \leq \dfrac 1{x} \displaystyle\int_0^{\pi/2} \dfrac{\text{e}^{t} \sin(t)-t}{t\text{e}^{t} \sin(t)} \,\text{d}t=\text{O}\Big(\dfrac 1x\Big)}.

    • On trouve {g(x)=\displaystyle{\int_0^{\pi/2} \dfrac{\,\text{d}t}{1+xt}}=\dfrac{1}{x}\ln\Big(1+\dfrac{\pi}2 x\Bigr)\sim \dfrac{\ln(x)}x} en {+\infty}.

      Comme {g(x) \sim \dfrac{\ln(x)}{x}} et {f(x)-g(x)=O\Big(\dfrac 1x\Big)} il vient {f(x) \sim \dfrac{\ln(x)}{x}}.

    • En coupant la première intégrale en deux, ceci revient à montrer : {\displaystyle\int_{n \pi+\pi/2}^{(n+1)\pi} \varphi(t) \,\text{d}t \leq \int_{n \pi}^{n \pi+\pi/2} \varphi(t) \,\text{d}t}Avec {t=(2n+1)\pi -u} on arrive à : {\displaystyle\int_{n \pi}^{n \pi+\pi/2} \varphi((2n+1)\pi-u)\,\text{d}u \leq\int_{n\pi}^{n \pi+\pi/2} \varphi(t) \,\text{d}t}Ainsi : {\int_{n \pi}^{n \pi+\pi/2} \dfrac {\,\text{d}t}{1+\text{e}^{(2n+1)\pi} \text{e}^{-t} |\sin t|} \leq\int_{n\pi}^{n \pi+\pi/2} \dfrac {\,\text{d}t}{1+\text{e}^{t} |\sin t|}}

      D’autre part : {\begin{array}{l}\dfrac 1{1+\text{e}^{(2n+1)\pi} \text{e}^{-t} |\sin t|} \leq \dfrac 1{1+\text{e}^{t} |\sin t|}\\\\\quad\iff 1+\text{e}^{t} |\sin t| \leq 1+\text{e}^{(2n+1)\pi} \text{e}^{-t} |\sin t|\\\\\quad\Leftarrow \text{e}^{t} \leq \text{e}^{(2n+1)\pi} \text{e}^{-t} \iff \text{e}^{2t} \leq \text{e}^{(2n+1)\pi}\\\\\quad\iff t \leq n \pi + \dfrac{\pi}2\text{\ (et c'est bon!)}\end{array}}

    • On a donc pour {n \in \mathbb{N}} : {\begin{array}{l}\displaystyle\int_{n \pi}^{(n+1)\pi} \varphi(t) \,\text{d}t \leq 2 \int_{n \pi}^{n\pi+\pi/2}\varphi(t) \,\text{d}t = 2 \displaystyle\int_0^{\pi/2} \varphi(u+n\pi)\,\text{d}u\\\\\quad=2 \displaystyle\int_0^{\pi/2} \dfrac {\,\text{d}u}{1+\text{e}^{u+n\pi} |\sin (u+n\pi)|}\\\\\quad=2 \displaystyle\int_0^{\pi/2} \dfrac {\,\text{d}u}{1+\text{e}^{n\pi}e^u \sin (u)}=2 f( \text{e}^{n \pi})\end{array}}Or {f(x) \sim \dfrac{\ln(x)}{x}} donc {f( \text{e}^{n \pi})\sim \dfrac{n \pi}{\text{e}^{n \pi}}}, terme général d’une série convergente.

      Par positivité, {\displaystyle\sum_{n\ge0}\int_{n \pi}^{(n+1)\pi}\varphi(t) \,\text{d}t} converge donc {\varphi\ge0} est intégrable sur {\mathbb{R}^{+}}