J(x) = int(1-x cosθ, θ=0..π/2) (1/3)

(Oral Centrale Mp)
On pose {J(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1-x\cos \theta)\,\text{d}\theta}, où {x} est une variable réelle.

    • Préciser le domaine de définition de {J}, et montrer qu’elle est paire.
    • Calculer {K=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\ln(\sin\theta)\,\text{d}\theta}, puis en déduire {J(1)}.
  1. Pour tout {n} de {\mathbb{N}}, on pose {W_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos^{n}\theta\,\text{d}\theta}.

    • Calculer {W_{n}} pour tout {n} de {\mathbb{N}}.
    • Calculer {J'(x)} sous la forme de la somme d’une série entière.
    • Comparer le développement en série de {J'(x)} avec celui de {\sqrt{1-x^{2}}}.
      En déduire l’expression de {J(x)} sur son domaine de définition.

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    • L’intégrale {J(x)} n’a pas de sens si {\left|x\right|>1}, et est définie si {\left|x\right|\lt 1}.

      Quand {\theta\to0}, on a {\ln(1-\cos\theta)\sim2\ln(\theta)} donc {J(1)} existe. Idem avec {J(-1)}.

      Le domaine est donc {[-1,1]}.

      La parité de {J} vient du changement de variable {\varphi=\pi-\theta}.

    • Le changement de variable {\theta\to\dfrac\pi2-\theta} donne :{K=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\ln(\sin\theta)\,\text{d}\theta=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\ln(\cos\theta)\,\text{d}\theta}Ainsi : {\begin{array}{rl}2K&=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\ln(\sin\theta\cos\theta)\,\text{d}\theta=-\dfrac\pi2\ln2+\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\ln(\sin2\theta)\,\text{d}\theta\\\\&=-\dfrac\pi2\ln2+\dfrac12\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(\sin\theta)\,\text{d}\theta\end{array}}L’égalité {\sin(\theta)=\sin(\pi-\theta)} donne {\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(\sin\theta)\,\text{d}\theta=2K}.

      Il en découle {K=-\dfrac\pi2\ln2}. Par ailleurs, on a : {\begin{array}{rl}J(1)&=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1-\cos\theta)\,\text{d}\theta=\pi\ln2+2\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln\sin\dfrac\theta2\,\text{d}\theta\\\\&=\pi\ln2+4\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\ln(\sin\theta)\,\text{d}\theta\end{array}}Finalement : {J(1)=J(-1)=\pi\ln2+4K=-\pi\ln2}.

    • Encore les intégrales de Wallis et Futuna… Pour tout {n\ge2} : {\begin{array}{rl}W_{n}&=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos\theta\,\cos^{n-1}\theta\,\text{d}\theta\\\\&=\Bigl[\sin\theta\,\cos^{n-1}\theta\Bigr]_{0}^{\pi}+(n-1)\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin^{2}\theta\,\cos^{n-2}\theta\,\text{d}\theta\\\\&=(n-1)(W_{n-2}-W_{n})\text{\ donc\ }W_{n}=\dfrac{n-1}{n}W_{n-2}\end{array}}Puisque {W_{1}=0}, on trouve {W_{2n+1}=0} pour tout {n} de {\mathbb{N}}.

      Pour tout {n\ge1} on a (et le résultat est encore vrai si {n=0}) : {W_{2n}=\dfrac{2n-1}{2n}W_{2(n-1)}=\dfrac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}W_{0}=\dbinom{2n}{n}\dfrac{\pi}{4^{n}}}

    • La fonction {J} est dérivable sur {]-1,1[}, et {J'(x)=-\displaystyle\int_{0}^{\pi}\dfrac{\cos\theta}{1-x\cos\theta}\,\text{d}\theta}

      Pour {\left|x\right|\lt 1}, on a donc (l’interversion est justifiée par CVN en {\theta} sur {[0,\pi]}) : {\begin{array}{rl}J'(x)&=-\displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos\theta\,\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}\cos^{n}\theta\,\text{d}\theta\\\\&=-\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\Biggl(\displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos^{n+1}\theta\,\text{d}\theta\Biggr)x^{n}=-\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}W_{n+1}\,x^{n}\end{array}}La question précédente donne, pour tout {x\in\,]-1,1[}: {J'(x)=-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}W_{2n}\,x^{2n-1}=-\pi\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{4^{n}}\dbinom{2n}{n}x^{2n-1}}

    • Pour tout {x} de {]-1,1[}, on a : {\dfrac1{\sqrt{1-x^{2}}}={(1-x^{2})}^{-1/2}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{2n}}avec {a_{n}=\dfrac1{n!}\Bigl(\dfrac12\Bigr)\Bigl(\dfrac32\Bigr)\cdots\Bigr(n-\dfrac12\Bigr)=\dfrac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}}

      Ainsi, pour tout {x} de {]-1,1[}, on a : {xJ'(x)=-\pi\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{4^{n}}\dbinom{2n}{n}x^{2n}=-\pi\Biggl(\dfrac1{\sqrt{1-x^{2}}}-1\Biggr)}Finalement, pour tout {x\in]-1,1[} : {J'(x)=-\pi\Biggl(\dfrac{1-\sqrt{1-x^{2}}}{x\sqrt{1-x^{2}}}\Biggr)=-\dfrac{\pi x}{\sqrt{1-x^{2}}(1+\sqrt{1-x^{2}})}}Or cette dernière expression est la dérivée de {x\mapsto \varphi(x)=\pi\ln(1+\sqrt{1-x^{2}})}.

      Il se trouve que {\begin{cases}\varphi(0)=\pi\ln(2)\\J(0)=0\end{cases}}. On en déduit, pour {x\in\,]-1,1[} :{J(x)=\varphi(x)-\pi\ln2=\pi\ln(1+\sqrt{1-x^{2}})-\pi\ln2}On constate que l’expression précédente est encore valable si {x=\pm1}.