J(x) = int(1-x cosθ, θ=0..π/2) (3/3)

(Oral Centrale Mp)
On pose {J(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1-x\cos \theta)\,\text{d}\theta}.

  1. Montrer que {J} est définie sur {[-1,1]} et qu’elle est paire.
  2. Pour {-1\lt x\lt 1}, calculer {J'(x)} puis {J(x)}.
  3. Calculer {J(1)}.

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  1. Il est clair que {J} est définie sur {]-1,1[} (fonction continue sur un segment).

    Classiquement, les intégrales {\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1\pm\cos \theta)\,\text{d}\theta} convergent.

    La fonction {J} est donc définie sur {[-1,1]}.

    La parité de {J} vient du changement de variable {\varphi=\pi-\theta}.

  2. Pour tout {x} dans {]-1,1[}, avec {x\ne0} : {\begin{array}{rl}J'(x)&=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\dfrac{-\cos\theta}{1-x\cos\theta}\,\text{d}\theta=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\dfrac1x\Biggl(1-\dfrac{1}{1-x\cos\theta}\Biggr)\,\text{d}\theta\\\\&=\dfrac\pi{x}-\dfrac1x\displaystyle\int_{0}^{\pi}\dfrac{\,\text{d}\theta}{1-x\cos\theta}\end{array}}
    On pose {t=\tan\dfrac\theta2} (donc {\,\text{d}\theta=\dfrac{2\,\text{d}t}{1+t^{2}}}) : {\begin{array}{rl}J'(x)&=\dfrac\pi{x}-\dfrac1x\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{2\,\text{d}t}{(1+t^{2})-x(1-t^{2})}\\\\&=\dfrac\pi{x}-\dfrac2x\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\,\text{d}t}{1-x+(1+x)\,t^{2}}\\\\&=\dfrac\pi{x}-\dfrac2{x(1+x)}\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\,\text{d}t}{a^{2}+t^{2}}\end{array}}
    où on a posé ici {a=\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}}.

    On utilise {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\,\text{d}t}{a^{2}+t^{2}}=\Biggl[\dfrac1a\arctan\dfrac{t}{a}\Biggr]_{t=0}^{t=+\infty}=\dfrac{\pi}{2a}}

    On trouve finalement : {J'(x)=\dfrac\pi{x}-\dfrac2{x(1+x)}\,\dfrac\pi2\,\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}=\dfrac\pi{x}-\dfrac{\pi}{x\sqrt{1-x^{2}}}}Or cette expression est la dérivée de {x\mapsto\varphi(x)=\pi\ln(1+\sqrt{1-x^{2}})}.

    On observe que {\varphi(0)=\pi\ln(2)} et {J(0)=0}.

    On en déduit, pour tout { x\in\,]-1,1[} :{J(x)=\varphi(x)-\pi\ln2=\pi\ln(1+\sqrt{1-x^{2}})-\pi\ln2}

  3. Le changement {\theta\to\dfrac\pi2-\theta} donne : {K=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\ln(\sin\theta)\,\text{d}\theta=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\ln(\cos\theta)\,\text{d}\theta}Ainsi : {\begin{array}{rl}2K&=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\ln(\sin\theta\cos\theta)\,\text{d}\theta=-\dfrac\pi2\ln2+\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\ln(\sin2\theta)\,\text{d}\theta\\\\&=-\dfrac\pi2\ln2+\dfrac12\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(\sin\theta)\,\text{d}\theta\end{array}}L’égalité {\sin(\theta)=\sin(\pi-\theta)} donne {\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(\sin\theta)\,\text{d}\theta=2K}.

    Ainsi {K=-\dfrac\pi2\ln2}. D’autre part on a : {\begin{array}{rl}J(1)&=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1-\cos\theta)\,\text{d}\theta=\pi\ln2+2\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln\sin\dfrac\theta2\,\text{d}\theta\\\\&=\pi\ln2+4\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\ln(\sin\theta)\,\text{d}\theta\end{array}}Finalement (ce qui étend le résultat de la question 2):{J(1)=J(-1)=\pi\ln2+4K=-\pi\ln2}