J(x) = int(1-x cosθ, θ=0..π/2) (2/3)

(Oral Centrale Mp)
On pose {J(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1-x\cos \theta)\,\text{d}\theta}, où {0\lt x\lt 1}.

Pour tout réel {\lambda>1}, et pour tout {n\in\mathbb{N}}, on pose : {L_{n}(\lambda)=\dfrac{1}{2^{n}}\displaystyle\int_{0}^{\pi}ln\Bigl(\lambda^{2^{n}}+\lambda^{-2^{n}}-2\cos \theta\Bigr)\,\text{d}\theta}

  1. Montrer que la suite {(L_{n}(\lambda))_{n\ge0}} est bien définie et qu’elle est constante.
    • En déduire l’égalité {\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln\Bigl(\lambda+\dfrac1\lambda-2\cos \theta\Bigr)\,\text{d}\theta=\pi\ln\lambda}.
    • En choisissant bien {\lambda}, donner l’expression de {J(x)} pour {0\lt x\lt 1}.
  2. Vérifier que cette expression de {J(x)} s’étend à {-1\le x\le 1}.

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  1. Pour {\lambda>1}, on a {\lambda+\dfrac1\lambda>2}. La suite {(L_{n}(\lambda))_{n\ge0}} est donc définie.

    Par symétrie, on trouve : {\begin{array}{rl}L_{n}(\lambda)&=\dfrac{1}{2^{n}}\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln\Bigl(\lambda^{2^{n}}+\lambda^{-2^{n}}-2\cos \theta\Bigr)\,\text{d}\theta\\\\&=\dfrac{1}{2^{n}}\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln\Bigl(\lambda^{2^{n}}+\lambda^{-2^{n}}+2\cos \theta\Bigr)\,\text{d}\theta\end{array}}Il en découle (par sommation) : {\begin{array}{rl}2L_{n}(\lambda)&=\dfrac{1}{2^{n}}\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln\Biggl(\Bigl(\lambda^{2^{n}}+\lambda^{-2^{n}}\Bigr)^{2}-4\cos^{2}\theta\Biggr)\,\text{d}\theta\\\\&=\dfrac{1}{2^{n}}\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln\Bigl(\lambda^{2^{n+1}}+\lambda^{-2^{n-1}}-2\cos2\theta\Bigr)\,\text{d}\theta\end{array}}Avec {\varphi=2\theta}, puis avec la {2\pi}-périodicité, puis la parité :{\begin{array}{rl}2L_{n}(\lambda)&=\dfrac{1}{2^{n+1}}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\ln\Bigl(\lambda^{2^{n+1}}+\lambda^{-2^{n-1}}-2\cos\varphi\Bigr)\,\text{d}\varphi\\\\&=\dfrac{1}{2^{n+1}}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\ln\Bigl(\lambda^{2^{n+1}}+\lambda^{-2^{n-1}}-2\cos\varphi\Bigr)\,\text{d}\varphi\\\\&=\dfrac{1}{2^{n}}\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln\Bigl(\lambda^{2^{n+1}}+\lambda^{-2^{n-1}}-2\cos\varphi\Bigr)\,\text{d}\varphi=2L_{n+1}\end{array}}Ainsi {(L_{n}(\lambda))_{n\ge0}} est constante, et {L_{0}(\lambda)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln\Bigl(\lambda+\dfrac1\lambda-2\cos \theta\Bigr)\,\text{d}\theta}.

    • On sort {\lambda^{2^{n}}} du logarithme : {L_{n}(\lambda)=\pi\ln\lambda+\dfrac{1}{2^{n}}\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln\Bigl(1+\lambda^{-2^{n+1}}-2\lambda^{-2^{n}}\cos \theta\Bigr)\,\text{d}\theta}Mais on a l’encadrement : {\begin{array}{rl}2\ln\Bigl(1-\lambda^{-2^{n}}\Bigr)&\le \ln\Bigl(1+\lambda^{-2^{n+1}}-2\lambda^{-2^{n}}\cos \theta\Bigr)\\\\&\le 2\ln\Bigl(1+\lambda^{-2^{n}}\Bigr)\end{array}}

      Il en découle {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}L_{n}(\lambda)=\pi\ln\lambda}.

      Ainsi : {\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln\Bigl(\lambda+\dfrac1\lambda-2\cos \theta\Bigr)\,\text{d}\theta=\pi\ln\lambda}

    • Posons {\lambda=\dfrac{1+\sqrt{1-x^{2}}}{x}}. On a {0\lt x\lt 1\lt 1+\sqrt{1-x^{2}}} donc {\lambda>1}.

      D’autre part : {\dfrac1\lambda=\dfrac{x}{1+\sqrt{1-x^{2}}}=\dfrac{x(1-\sqrt{1-x^{2}})}{x^{2}}=\dfrac{1-\sqrt{1-x^{2}}}{x}}
      et il en découle {\lambda+\dfrac1\lambda=\dfrac2{x}}

      Le résultat de la question (2) s’écrit maintenant : {\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln\Bigl(\dfrac2{x}-2\cos \theta\Bigr)\,\text{d}\theta=\pi\ln\dfrac{1+\sqrt{1-x^{2}}}{x}}
      Ou encore : {\pi(\ln2-\ln x)+J(x)=\pi\ln(1+\sqrt{1-x^{2}})-\pi\ln x}.

      On obtient donc : {J(x)=\pi\ln(1+\sqrt{1-x^{2}})-\pi\ln2}.

  • Quand {\theta\to0}, on a {\ln(1-\cos \theta)\sim2\ln(\theta)} donc {J(1)} existe. Idem avec {J(-1)}.

    Le domaine est donc {[-1,1]}. La parité de {J} vient de {\varphi=\pi-\theta}.

    Soit {(x_{n})_{n\ge0}} une suite de {]0,1[}, convergente vers {1}.

    Pour {n\in\mathbb{N}}, et {t\in]0,\pi[}, on a {\left|\ln(1-x_{n}\cos \theta)\right|\le \left|\ln(1-\cos \theta)\right|}.

    Ainsi, avec le théorème de convergence dominée : {J(1)=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}J(x_{n})}.

    On trouve finalement : {J(1)=J(-1)=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\Bigl(\pi\ln(1+\sqrt{1-x^{2}})-\pi\ln2\Bigr)=-\pi\ln2}