Sommes de Riemann (3/3)

Exercice 1.
Soit {f:[0,1]\to\mathbb{R}}, continue. Montrer que {{\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}}\,\dfrac1n\displaystyle\sum_{k=1}^n(-1)^kf\bigl(\dfrac kn\bigr)=0}.
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Exercice 2.
Soient {f,g} deux fonctions continues sur {[0,1]}.
Montrer que {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac1n\, \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}f\Big(\frac kn\Big)g\Big(\frac {k+1}n\Big)=\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)g(x)\,\text{d}x}.
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Exercice 3.
Calculer {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}S_n}, avec {S_n= \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac1{\sqrt{n^2+kn}}}.
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Exercice 4.
Soit {f\in\mathcal{C}^3([a,b],\mathbb{R})} et {n\in\mathbb{N}^*}. On pose {M_3=\displaystyle\sup_{[a,b]}\left|{f^{(3)}}\right|}.
On pose {S_n(f)=\dfrac{b\!-\!a}n \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}f\Bigl(\dfrac kn\Bigr)}. On définit de même {S_n(f')} et {S_n(f'')}.

  1. Montrer la majoration : {\Bigl|\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x-S_n(f)-\dfrac{b\!-\!a}{2n}S_n(f')-\dfrac{(b\!-\!a)^2}{6n^2}S_n(f'')\Bigr|\le\dfrac{(b\!-\!a)^4}{24n^3}M_3}
  2. Prouver le développement asymptotique : {\begin{array}{rl}\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x=&S_n(f)+\dfrac{b\!-\!a}{2n}\bigl(f(b)\!-\!f(a)\bigr)\phantom{\biggl(}\\&-\dfrac{(b\!-\!a)^2}{12n^2}\bigl(f'(b)-f'(a)\bigr)+\text{O}\Bigl(\dfrac1{n^3}\Bigr)\phantom{\biggl(}\end{array}}

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