Sommes de Riemann (2/3)

Exercice 1.
Calculer {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}S_n}, avec {S_n=\dfrac1n\Bigl(\dfrac{(2n)!}{n!}\Bigr)^{1/n}}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé

Exercice 2.
Calculer {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}S_n(x)}, où {S_n(x)=\dfrac{1^x+2^x+\cdots+n^x}{n^{x+1}}}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé

Exercice 3.
Soit {f} une fonction continue sur {[0,1]}, strictement positive.
Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{1} \ln f(x)\,\text{d}x\le \ln\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,\text{d}x}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé

Exercice 4.
Soit {f:[0,a]\rightarrow[0,b]}, continue strictement croissante, surjective. Soit {g=f^{-1}}.

  1. Montrer que {ab=\displaystyle\int_0^a f(x)\,\text{d}x+\displaystyle\int_0^bg(x)\,\text{d}x}.
  2. Montrer que, pour tout u\in[0,a] et tout v\in[0,b] : {uv\le\displaystyle\int_{0}^{u}f(x)\,\text{d}x+\displaystyle\int_{0}^{v}g(x)\,\text{d}x}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé