Sommes de Riemann (2/3)

Exercices corrigés


Exercice 1.
Calculer {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}S_n}, avec {S_n=\dfrac1n\Bigl(\dfrac{(2n)!}{n!}\Bigr)^{1/n}}

Exercice 2.
Calculer {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}S_n(x)} où {S_n(x)=\dfrac{1}{n^{x+1}}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^x}

Exercice 3.
Soit {f} une fonction continue sur {[0,1]}, strictement positive.
Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{1} \ln f(x)\,\text{d}x\le \ln\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,\text{d}x}.

Exercice 4.
Soit {f:[0,a]\rightarrow[0,b]}, continue strictement croissante, surjective. Soit {g=f^{-1}}.

  1. Montrer l’égalité : {ab=\displaystyle\int_0^a f(x)\,\text{d}x+\displaystyle\int_0^bg(x)\,\text{d}x}
  2. Montrer que, pour u\in[0,a] et v\in[0,b] : {uv\le\displaystyle\int_{0}^{u}f(x)\,\text{d}x+\displaystyle\int_{0}^{v}g(x)\,\text{d}x}

Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.

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