Matrices orthogonales

Exercice 1.

  1. Montrer que {\lt A,B>\,=\text{tr}({A}^{\top} B)} est un produit scalaire sur {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}.
  2. Pour quelles matrices {M} l’application {A\rightarrow AM} est-elle alors orthogonale?

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Exercice 2.
Soit {A=(a_{ij})} une matrice orthogonale d’ordre {n}.
Prouver que {\displaystyle\sum_{i,j=1}^n\left|{a_{ij}}\right|\le n\sqrt n}, et {\Bigl|\displaystyle\sum _{i,j=1}^na_{ij}\Bigr|\le n}.
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Exercice 3.
Montrer qu’il existe dans {{\mathcal M}_2(\mathbb{R})} une base formée de matrices orthogonales.
Montrer que ce résultat reste vrai dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}.
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Exercice 4.
Soit {A} une matrice antisymétrique d’ordre {n}, à coefficients réels.
Montrer que {A-I_n} est inversible.
Montrer que {\Omega=(A+I_n)(A-I_n)^{-1}} est orthogonale.
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