Dénombrements divers (2/2)

Exercice 1.
Combien peut-on former de nombres de {6} chiffres en juxtaposant {2}, {2}, {2}, {3}, {4} et {4}?
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Si les {6} chiffres proposés étaient distincts, il y aurait {6!} nombres différents.

Du fait que {2} est présent {3} fois, il faut diviser ce résultat par {3!=6}.

Du fait que {4} est présent {2} fois, il faut encore diviser par {2!=2}.

Finalement, il y a {\dfrac{6!}{3!2!}=60} nombres différents.

Exercice 2.
Une “main” au poker, c’est {5} cartes sur {32}.
Combien y a-t-il de mains différentes contenant :

  1. Deux paires.
  2. Un full (un brelan et une paire).
  3. Exactement une paire (deux cartes à la même hauteur).
  4. Exactement un brelan (trois cartes à la même hauteur).
  5. Une quinte flush (cinq cartes qui se suivent et de la même couleur).
  6. Une quinte (cinq cartes qui se suivent, mais pas toutes de la même couleur).
  7. Une couleur (cinq cartes de la même couleur).
  8. Un carré (quatre cartes de la même hauteur).
  9. Un résultat inintéressant.

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  1. On choisit une des {48} paires (une hauteur parmi {8} et {2} cartes parmi {4} donc {8\dbinom{4}{2}=48}).

    On choisit ensuite une paire à une hauteur différente : {7\dbinom{4}{2}=42} possibilités.

    NB : dans le produit {48*42}, chaque “paire de paires” est comptée deux fois.

    Enfin, on choisit une des {32-8=24} cartes de hauteur différente des deux précédentes.

    Le nombre de mains contenant exactement deux paires est donc {48*21*24=24192}.

  2. Il y a {32} brelans possibles (une hauteur parmi {8} puis {3} cartes parmi {4}, donc {8\dbinom{4}{3}=32}).

    Une fois ce brelan choisi, il faut former une paire dans l’une des {7} hauteurs restantes, ce qui peut se faire de {7\dbinom{4}{2}=42} manières différentes.

    Le nombre de mains contenant un full est donc {32*42=1344}.

  3. On choisit l’une des {48} paires possibles.

    On choisit ensuite {3} des {32-4=28} cartes à une hauteur différente de cette paire.

    Des {48*\dbinom{28}{3}=157248} possibilités il faut décompter les {24192} mains qui contiennent deux paires et les {1344} mains qui contiennent un full.

    Le nombre de mains contenant une paire seule est donc {157248-24192-1344=131712}.

  4. On choisit l’un des {32} brelans possibles.

    On choisit ensuite deux des {28} cartes qui sont à une hauteur différente du brelan.

    Des {32*\dbinom{28}{2}=12096} possibilités il faut décompter les {1344} mains contenant un full.

    Le nombre de mains contenant un brelan (et pas plus) est donc {12096-1344=10752}.

  5. On choisit une couleur parmi {4}, puis la hauteur de départ de la quinte (au mimimum le {7} et au maximum le {10} : {4} choix possibles).

    Le nombre de mains contenant une quinte flush est donc {4*4=16}.

  6. On choisit la hauteur de départ parmi les {4} hauteurs possibles (du {7} au {10}).

    On choisit alors, pour chacun des {5} niveaux, une carte sur les {4} possibles.

    Des {4*4^5=4096} possibilités il faut décompter les {16} quintes flush.

    Le nombre de mains contenant une simple quinte est donc {4080}.

  7. Il faut choisir une couleur parmi {4}, puis {5} cartes parmi les {8} qui sont de cette couleur.

    Il y a a priori {\dbinom{8}{5}=56} manières de choisir ces {5} cartes, mais il faut retirer les {4} choix qui conduisent à des cartes consécutives (donc à une quinte flush).

    Le nombre de mains contenant une “couleur” est donc {4(56-4)=202}.

  8. Il y a {8} carrés possibles. Il reste alors à choisir une carte parmi les {32-4=28} restantes.

    Le nombre de mains contenant un carré est donc {8*28=224}.

  9. Il y a {\dbinom{32}{5}=201376} mains possibles, mais on doit retirer celles qui sont “intéressantes”, c’est-à-dire qui tombent dans l’une des cas précédents. On trouve : {201376-24192-1344-131712-10752-16-4080-202-224=28854}Il y a donc {28854} mains inintéressantes” au poker.

Exercice 3.
On lance une pièce de monnaie autant de fois que nécessaire pour qu’au total la pièce retombe {k} fois sur un même coté (non spécifié à l’avance).

  1. Quel est le nombre minimum {m} ou maximum {M} de jets à effectuer?
  2. Soit {n} un entier naturel compris entre {m} et {M}. Combien existe-t-il de résultats de l’épreuve en {n} coups exactement? En {n} coups au plus?

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  1. Il faut au minimum {m=k} jets, et il en faut au maximum {M=2k-1}.
  2. Si on fixe le coté sur lequel doit tomber la pièce, par exemple “pile”, le nombre de possibilités est {\dbinom{n-1}{k-1}} : on doit en effet choisir la position des {k-1} premiers “pile” dans la succession des {n-1} premiers jets, le {n}-ième jet donnant par hypothèse le {k}-ième pile.

    Si on ne fixe plus le coté attendu, le nombre de résultats de l’épreuve est {a_n=2\dbinom{n-1}{k-1}}.

    Soit {b_n} le nombre de résultats de l’épreuve en {n} coups au plus.

    Avec les notations précédentes, on a : {b_n=a_k+a_{k+1}+\cdots+a_n}.

    Ainsi {b_n=2 \displaystyle\sum_{j=k}^{n}\dbinom{j-1}{k-1}=2\dbinom{n}{k}} d’après un exercice déjà fait.

    Ce résultat est logique car il faut choisir par exemple la position des {k} “piles” parmi les {n} lancers ({\dbinom{n}{k}} possibilités) puis doubler ce résultat car on ne fixe pas le coté attendu.

  3. Remarque : à tout prendre, l’exercice est plus facile si on résout d’abord la question {2}.

    On a en effet clairement {b_n=2\dbinom{n}{k}} avec le raisonnement précédent.

    On en déduit, avec la formule du triangle de Pascal : {a_n=b_n-b_{n-1}=2\Bigl(\dbinom{n}{k}-\dbinom{n-1}{k}\Bigr)=2\dbinom{n-1}{k-1}}