Dénombrements de parties (2/2)

Exercice 1.
Soit {E} un ensemble de cardinal {n}.
Calculer { \displaystyle\sum_{X,\,Y\subset\,E}\text{card}(X\cap Y)} et { \displaystyle\sum_{X,\,Y\subset\,E}\text{card}(X\cup Y)}.
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Exercice 2.
Si {\text{card} E= np}, calculer le nombre de partitions de {E} en {n} parties de {p} éléments.
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Exercice 3.
Soit {n\geq 1} et {p\geq 0} des entiers. On note {F_n^p} l’ensemble des parties de {\{1,\cdots,n\}} ne contenant aucune paire d’entiers consécutifs. On note {K_n^p} le cardinal de {F_n^p}.

  1. Déterminer {K_n^p} quand {p> (n+1)/2}.
  2. Soit {\{a_1,\cdots,a_p\}} une partie de {F_n^p} écrite de sorte que {a_i\lt a_{i+1}}.
    On pose {b_k=a_k+1-k}. Prouver que : {1\leq b_1\lt b_2\lt \cdots\lt b_p\leq n+1-p}
  3. Construire une bijection de {F_n^p} sur l’ensemble {G_n^p} des parties à {p} éléments de {\{1,\cdots,n+1-p\}}.
  4. En déduire la valeur de {K_n^p}.
  5. Application : au loto on tire 6 numéros dans {\{1,\cdots,49\}}. Combien de tirages ne contiennent aucune paire d’entiers consécutifs? Mme Michu ne joue que des grilles ne contenant pas deux numéros consécutifs. A-t-elle raison?

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