Comparaison de normes fonctionnelles

(Oral X-Cachan 2017)
Soit {E=\{f\in C^{2}([0,1],\mathbb{R}),\;f(0)=f^{\prime }(0)=0\}}.

Pour {f\in E,\| f\|=\| f+2f^{\prime }+f^{\prime \prime }\| _{\infty }}.

  1. Montrer que {f\mapsto\| f\|} est une norme sur {E}.
  2. Soit {f\in E}. On pose {g=f+2f^{\prime }+f^{\prime \prime }}.
    Montrer : {\forall t\in [0,1],\;f(t)=e^{-t}\displaystyle\int_{0}^{t}(t-x)e^{x}g(x)\,\text{d}x}.
  3. Montrer qu’il existe {a>0} tel que {\forall f\in E,\;||f||_{\infty }\leq a||f||}.

    Trouver la valeur optimale de {a}.

  4. Existe-t-il {b>0} tel que {\forall f\in E,||f||\leq b||f||_{\infty }}?

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  1. Soit {f\in E}. Alors {f+2f'+f''} est continue donc bornée sur {[0,1]}.

    Cela assure l’existence du réel positif {\| f\|}.

    Dire que {\| f\|=0} c’est dire que {f} vérifie {f+2f'+f''=0}.

    Avec les conditions {f(0)=f'(0)=0}, le théorème de Cauchy linéaire donne {f=0}.

    Les propriétés {\|\lambda f\|=|\lambda|\| f\|} et {\| f+g\| \leqslant \| f\|+\| g\|} sont faciles.

    Ainsi {f\mapsto\| f\|} est une norme sur {E}.

  2. Soit {h : t \longmapsto \text{e}^{-t}\displaystyle\int_0^t(t-x)\text{e}^xg(x)\,\text{d}x}.

    Pour {t\in [0,1], h(t)=t\text{e}^{-t}\displaystyle\int_0^t\text{e}^xg(x)\,\text{d}x-\text{e}^{-t}\displaystyle\int_0^t x\text{e}^xg(x)\,\text{d}x}.

    Les fonctions {x\mapsto \text{e}^xg(x)} et {x\mapsto x\text{e}^xg(x)} étant continues, {h} est {\mathcal C^1} avec : {\begin{array}{rl}\forall t\in[0,1],\;h'(t)&=\text{e}^{-t}(1-t)\displaystyle\int_0^t\text{e}^xg(x)\,\text{d}x+tg(t)+\text{e}^{-t}\displaystyle\int_0^t x\text{e}^xg(x)\,\text{d}x-tg(t)\\\\&=\text{e}^{-t}(1-t)\displaystyle\int_0^t\text{e}^xg(x)\,\text{d}x+\text{e}^{-t}\displaystyle\int_0^t x\text{e}^xg(x)\,\text{d}x\end{array}}De même, {h'} est {\mathcal C^1} sur {[0,1]} avec, pour 0\le t\le 1 : {h''(t)=\text{e}^{-t}(t-2)\displaystyle\int_0^t\text{e}^xg(x)\,\text{d}x+g(t)-\text{e}^{-t}\displaystyle\int_0^t x\text{e}^xg(x)\,\text{d}x}Ainsi : {\forall t\in[0,1],h''(t)+2h'(t)+h(t)=g(t)}.

    La fonction {h-f} vérifie donc l’équation différentielle : {y''+2y'+y=0}.

    Mais {(h-f)(0)=0} et {(h-f)'(0)=0}.

    Par unicité de la solution au problème de Cauchy, on trouve {h=f}.

    Ainsi : { \forall t\in [0,1], f(t)=\text{e}^{-t}\displaystyle\int_0^t(t-x)\text{e}^xg(x)\,\text{d}x}.

  3. Soit {t\in [0,1]} et {f\in E}.

    Par ce qui précède, {|f(t)|\leqslant \| g\|_{\infty}\left(e^{-t}\displaystyle\int_0^t(t-x)\text{e}^x\,\text{d}x\right)}.

    Par une intégration par parties : {\int_0^t(t-x)\text{e}^x\,\text{d}x=\Big[(t-x)\text{e}^x\Big]_0^t+\int_0^t\text{e}^x \,\text{d}x=\text{e}^t-t-1}Ainsi : {\forall\,t \in [0,1], |f(t)|\leqslant \| g\|_{\infty}\left(1-t e^{-t}-e^{-t}\right)}.

    Mais la fonction { \varphi : t\longmapsto 1-t e^{-t}-e^{-t}} est croissante sur {[0,1]}.

    En particulier: {\forall t \in [0,1], 0=\varphi(0)\leqslant \varphi(t)\leqslant \varphi(1)=1-2\text{e}^{-1}}.

    Il en résulte: {\| f\|_{\infty}=\sup\limits_{t\in [0,1]} |f(t)|\leqslant (1-2\text{e}^{-1}) \| f\|}.

    On va montrer que la valeur optimale de a est {a=1-2\text{e}^{-1}}.

    La fonction {\varphi} précédente est {\mathcal C^2} sur {[0,1]} avec {\varphi(0)=\varphi'(0)=0}.

    Elle est donc est élément de {E}. Par ailleurs {\|\varphi\|_{\infty}=1-2\text{e}^{-1}}.

    On constate que, pour 0\le t\le 1 : {(\varphi+2\varphi'+\varphi'')(t)=1-t e^{-t}-e^{-t}+2t\text{e}^{-t}+e^{-t}-t\text{e}^{-t}=1}Variante : les solutions de {y''+2y'+y=0} sont les {t\mapsto (\lambda+\mu t)\text{e}^{-t}}{(\lambda, \mu)\in \mathbb{R}^2}.

    Donc (sans calcul) {\varphi-1 : t\longmapsto -t e^{-t}-e^{-t}} est solution de cette équation.

    Ainsi {\| \varphi\|=\|1\|_{\infty}=1}. On a donc {\|\varphi\|_{\infty}=(1-2\text{e}^{-1})\|\varphi\|}.

    En conclusion, {a=1-2\text{e}^{-1}} est bien la plus petite constante possible.

  4. Soit {n\in \mathbb{N}} tel que {n\geqslant 2}, et {f_n : t\in [0,1]\longmapsto t^n}.

    La suite { (f_n)_{n\geq 2}} est à valeurs dans {E}.

    Or {\| f_n\|_{\infty}=1} et {\| f_n\|= n^2+n+1\stackrel{n\rightarrow +\infty}{\longrightarrow} +\infty}.

    En particulier la suite des rapports {\left(\dfrac{\| f_n\|}{\ \| f_n\|_{\infty}}\right)} est non bornée.

    Il n’existe donc pas de réel {b} tel que : {\forall f\in E, \| f\|\leqslant b\| f\|_{\infty}}.

    En d’autres termes, les normes {\| \ \|_{\infty}} et {\| \ \|} ne sont pas “équivalentes” sur {E}.