Le groupe symétrique (2/2)

Exercice 1.
On se donne un entier {n\ge2}.

  1. Montrer que si deux cycles commutent, leurs supports sont égaux ou disjoints.
  2. Inversement former deux cycles {\sigma,\sigma'} de même support, tels que {\sigma\circ\sigma'\ne\sigma'\circ\sigma}.

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Exercice 2.
Dans {S_n}, soit {c} la permutation circulaire {(1,2,\ldots,n-1,n)}.
Montrer que les permutations qui commutent avec {c} sont les puissances de {c}.
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Exercice 3.

  1. Montrer que dans le groupe symétrique {S_n} (avec {n\ge3}), toute permutation paire est un produit de cycles de longueur {3}.
  2. Effectuer une telle décomposition pour {\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\cr2&3&4&5&6&7&1\end{pmatrix}}

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Exercice 4.
On se place dans le groupe symétrique {S_n}, avec {n\ge3}. Montrer que toute permutation paire est un produit de cycles du type {c_k=(1,2,k)} avec {3\le k\le n}.
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