Le groupe symétrique (2/2)

Exercice 1.
On se donne un entier {n\ge2}.

  1. Montrer que si deux cycles commutent, leurs supports sont égaux ou disjoints.
  2. Inversement former deux cycles {\sigma,\sigma'} de même support, tels que {\sigma\circ\sigma'\ne\sigma'\circ\sigma}.

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  1. Soient {\sigma} et {\sigma'} deux cycles qui commutent : {\sigma\circ\sigma'=\sigma'\circ\sigma}.

    On suppose que les supports de {\sigma} et {\sigma'} sont distincts.

    Il existe par exemple {x} dans {\{1,2,\ldots,n\}} qui est dans le support de {\sigma} (donc modifié par {\sigma}) mais qui n’est pas dans celui de {\sigma'} (donc invariant par cette permutation).

    Si {\sigma} est de longueur {m}, son support s’écrit {\{x,\sigma(x),\ldots,\sigma^{m-1}(x)\}}.

    Or, pour tout entier {k} de {\{0,1,\ldots,n-1\}}, on a :
    {\begin{array}{rl}\sigma^k(x)&=\sigma^k\circ\sigma'(x)\quad\text{\ (car\ }x\text{\ est invariant par\ }\sigma'\\\\&=\sigma'\circ\sigma^k(x)\quad(\sigma'\text{\ commute avec\ }\sigma\text{\ donc avec\ }\sigma^k)\end{array}} Ainsi les différents éléments {\sigma^k(x)} du support de {\sigma} sont invariants par {\sigma'}, ce qui exprime qu’ils n’appartiennent pas au support de {\sigma'}.

    Les supports de {\sigma} et {\sigma'} sont donc disjoints (s’ils sont distincts).

  2. Inversement, si les supports de {\sigma} et {\sigma'} sont disjoints, alors {\sigma\circ\sigma'=\sigma'\circ\sigma}.

    Mais si {\sigma,\sigma'} ont même support, on peut avoir {\sigma\circ\sigma'\ne\sigma'\circ\sigma}.

    Par exemple, dans {S_4}, soit {\begin{cases}\sigma=(1,2,3,4)\\\sigma'=(1,2,4,3)\end{cases}}

    Les deux supports sont égaux à {\{1,2,3,4\}}.

    Pourtant {\begin{cases}\sigma'\circ\sigma(1)=\sigma'(2)=4\\\sigma\circ\sigma'(1)=\sigma(2)=3\end{cases}}, donc {\sigma\sigma'\neq\sigma'\sigma}.

Exercice 2.
Dans {S_n}, soit {c} la permutation circulaire {(1,2,\ldots,n-1,n)}.
Montrer que les permutations qui commutent avec {c} sont les puissances de {c}.
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Il est clair que les puissances de {c} commutent avec {c}.

Réciproquement, soit {\sigma} une permutation telle que {\sigma\circ<br /> c=c\circ\sigma}.

Posons {\sigma(1)=k} (avec {0\le k\le n-1}) et montrons que {\sigma=c^{k}}.

Pour tout entier {j\in\{0,n-1\}}, on a : {\begin{array}{rll}\sigma(j+1)&=\sigma\left(c^{j}(1)\right)=(\sigma\circ c^{j})(1)\\\\&=(c^{j}\circ\sigma)(1)&(\sigma\text{\ commute avec\ }c\text{\ donc avec\ }c^{j})\\\\&=c^{j}\left(\sigma(1)\right)=c^{j}\left(c^{k}(1)\right)&(\sigma(1)=k\text{\ et\ }k+1=c^{k}(1)\\\\&=c^{j+k}(1)=c^{k}\left(c^{j}(1)\right)\\\\&=c^{k}(j+1)\end{array}}
Ainsi {\sigma(j+1)=c^{k}(j+1)} pour {j\in\{0,1,\ldots,n-1\}}, donc {\sigma=c^{k}}.

Conclusion : les permutations qui commutent avec {c} sont les puissances de {c}, qui se réduisent aux {c^{k}}, avec {0\le k\le n-1} (car {c^n=\text{Id}}).

Exercice 3.

  1. Montrer que dans le groupe symétrique {S_n} (avec {n\ge3}), toute permutation paire est un produit de cycles de longueur {3}.
  2. Effectuer une telle décomposition pour {\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\cr2&3&4&5&6&7&1\end{pmatrix}}

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  1. On sait que toute permutation paire est la composée d’un nombre pair de transpositions. Il suffit donc de prouver que le produit {\sigma=\tau\circ\tau'} de deux transpositions peut lui-même s’écrire comme un produit de cycles de longueur {3}.

    Posons {\tau=(i,j)} et {\tau'=(k,l)}. Plusieurs cas sont possibles:

    • Premier cas : {\{i,j\}=\{k,l\}}.

      On a alors {\tau=\tau'}, donc {\sigma=\text{Id}}.

      On peut alors écrire {\sigma=c^3=c^0}, où {c} est n’importe quel cycle de longueur {3} (mais il vaut mieux considérer ici {\sigma} comme un produit “vide” de cycles de longueur {3}).

    • Deuxième cas : les entiers {i,j,k,l} sont distincts.

      Dans ce cas, on constate que {\sigma=(i,j)\circ(k,l)=(i,k,j)\circ(k,l,i)}.

    • Troisième cas : {\{i,j\}} et {\{k,l\}} ont exactement un élément commun.

      Sans perdre de généralité, on peut supposer {l=i}.

      Ainsi {\tau=(i,j)} et {\tau'=(i,k)}.

      On remarque alors que {\tau\circ\tau'=(i,j)\circ(i,k)=(i,k,j)}.

    Ainsi {\tau\circ\tau'} est donc toujours un produit de cycles de longueur {3} (cqfd).

  2. On décompose la permutation circulaire {\sigma} en produit de transpositions : {\begin{array}{rl}\sigma&=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\cr2&3&4&5&6&7&1\end{pmatrix}\\\\&=(1,2)\circ(2,3)\circ(3,4)\circ(4,5)\circ(5,6)\circ(6,7)\end{array}}On regroupe ces transpositions par paires consécutives.

    Dans chacune de ces paires, il y a un élément en commun.

    Par exemple : {(1,2)\circ(2,3)=(1,2,3)}.

    On en déduit la décomposition : {\sigma=(1,2,3,4,5,6,7)=(1,2,3)\circ(3,4,5)\circ(5,6,7)}

Exercice 4.
On se place dans le groupe symétrique {S_n}, avec {n\ge3}. Montrer que toute permutation paire est un produit de cycles du type {c_k=(1,2,k)} avec {3\le k\le n}.
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On procède par récurrence sur l’entier {n}. La propriété est vraie si {n=3}. En effet, si on note {c_3=(1,2,3)} alors les permutations paires sont {\text{Id}=c_3^0} et {(1,3,2)=c_3^2}.

On suppose donc que la propriété a été démontrée pour un certain entier {n\ge3}.

On se donne une permutation paire {\sigma} de {\{1,2,\ldots,n,n+1\}}.

  • Si {\sigma(n+1)=n+1}, alors la restriction de {\sigma} à {\{1,2,\ldots,n\}} est une permutation paire.

    Elle se décompose par hypothèse en un produit des {c_k=(1,2,k)} avec {3\le k\le n}.

    On obtient ainsi une décomposition de {\sigma} elle-même.

  • On suppose donc {\sigma(n+1)=j\le n}. On constate que : {\begin{array}{l}(c_{n+1}^{-1}\circ c_j\circ\sigma)(n+1)=(c_{n+1}^{-1}\circ c_j)(j)\\\\\quad=c_{n+1}^{-1}(1)=n+1\end{array}}Ainsi la permutation paire {\sigma'=c_{n+1}^{-1}\circ c_j\circ\sigma} laisse {n+1} invariant.

    On peut donc appliquer le résultat précédent à {\sigma'}.

    Ainsi {\sigma=c_j^{-1}\circ c_{n+1}\circ\sigma'=c_j^2\circ c_{n+1}\circ\sigma'} se décompose en produit de cycles {c_k} avec {3\le k\le n+1}, ce qui prouve la propriété au rang {n+1} et achève la récurrence.