Calcul du rang d’une matrice (3/3)

Exercice 1.
Déterminer le rang de {A=\begin{pmatrix}a&0&0&b\cr b&a&0&0\cr 0&b&a&0\cr 0&0&b&a\end{pmatrix}}, où {(a,b)\in\mathbb{C}^2}.
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Si {a=b=0}, alors {\text{rg}(A)=0}.

Si {\begin{cases}a=0\cr b\ne0\end{cases}}, alors {\text{rg}(A)=\text{rg}\begin{pmatrix}0&0&0&b\cr b&0&0&0\cr 0&b&0&0\cr 0&0&b&0\end{pmatrix}=4}.

On suppose donc maintenant {a\ne0}.

On utilise successivement les opérations suivantes : {\text{L}_{2}\leftarrow a\text{L}_{2}-b\text{L}_{1},\quad\text{L}_{3}\leftarrow a^2\text{L}_{3}-b\text{L}_{2},\quad\text{L}_{4}\leftarrow a^3\text{L}_{4}-b\text{L}_{3}} On obtient alors les matrices :
{\begin{array}{l}A=\begin{pmatrix}a&0&0&b\cr b&a&0&0\cr 0&b&a&0\cr 0&0&b&a\end{pmatrix}\Rightarrow\begin{pmatrix}a&0&0&b\cr 0&a^2&0&-b^2\cr 0&b&a&0\cr 0&0&b&a\end{pmatrix}\\\\\Rightarrow\begin{pmatrix}a&0&0&b\cr 0&a^2&0&-b^2\cr 0&0&a^3&b^3\cr 0&0&b&a\end{pmatrix}\Rightarrow\begin{pmatrix}a&0&0&b\cr 0&a^2&0&-b^2\cr 0&0&a^3&b^3\cr 0&0&0&a^4-b^4\end{pmatrix}\end{array}}On en déduit que si {b^4\ne a^4}, alors {\text{rg}(A)=4}.

Dans le cas contraire, donc si {b\in\{a,ia,-a,-ia\}}, alors {\text{rg}(A)=3}.

Exercice 2.
Quand {A=\begin{pmatrix}1&1&1&1\cr1&1+a&1&1\cr1&1&1+b&1\cr1&1&1&1+c\end{pmatrix}} est inversible, calculer son inverse.
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Par des opérations sur les lignes, on va passer progressivement de {A} à {I_4}.

Avec {\begin{cases}\text{L}_{2}\leftarrow\text{L}_{2}-\text{L}_{1}\cr\text{L}_{3}\leftarrow\text{L}_{3}-\text{L}_{1}\cr\text{L}_{4}\leftarrow\text{L}_{4}-\text{L}_{1}\end{cases}} on passe de {A} à {B=\begin{pmatrix}1&1&1&1\cr0&a&0&0\cr 0&0&b&0\cr 0&0&0&c\end{pmatrix}}.

Ainsi : {(A\text{\ inversible\ }\Leftrightarrow(B\text{\ inversible\ })\Leftrightarrow abc\ne0}.

Dans ce cas on applique l’opération {\text{L}_{1}\leftarrow abc\text{L}_{1}-a\text{L}_{2}-b\text{L}_{3}-c\text{L}_{4}}.

Celle-ci transforme {B} en {C=\begin{pmatrix}abc&0&0&0\cr 0&a&0&0\cr 0&0&b&0\cr 0&0&0&c\end{pmatrix}}.

On transforme enfin {C} en {I_4} en appliquant : {\text{L}_{1}\leftarrow\dfrac1{abc}\text{L}_{1},\ \text{L}_{2}\leftarrow\dfrac1a\text{L}_{2},\ \text{L}_{3}\leftarrow\dfrac1b\text{L}_{3},\ \text{L}_{4}\leftarrow\dfrac1c\text{L}_{4}}Les mêmes opérations (depuis le début) passent de {I_4} à {A^{-1}}. D’abord :
{\begin{array}{l}I_4=\begin{pmatrix}1&0&0&0\cr 0&1&0&0\cr 0&0&1&0\cr 0&0&0&1\end{pmatrix}\Rightarrow\begin{pmatrix}1&0&0&0\cr -1&1&0&0\cr -1&0&1&0\cr -1&0&0&1\end{pmatrix}\\\\\Rightarrow\begin{pmatrix}abc+bc+ac+ab&-bc&-ac&-ab\cr -1&1&0&0\cr -1&0&1&0\cr -1&0&0&1\end{pmatrix}\end{array}}Les toutes dernières opérations conduisent enfin à : {A^{-1}=\begin{pmatrix}1+\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c&-\dfrac1a&-\dfrac1b&-\dfrac1c\\\\-\dfrac1a&\dfrac1a&0&0\\\\-\dfrac1b&0&\dfrac1b&0\\\\ -\dfrac1c&0&0&\dfrac1c\end{pmatrix}}

Exercice 3.
Résoudre le système {(S)\ \begin{cases}ax+iy+z+2it=1\cr ix-ay+2iz-t=i\cr x-2iy-az+it=1\cr 2ix+y-iz-at=-i\end{cases}} (où {a\in\mathbb{C}})
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Soit {M=\begin{pmatrix}a&i&1&2i\cr i&-a&2i&-1\cr1&-2i&-a&i\cr2i&1&-i&-a\end{pmatrix}} la matrice du système. Posons {\lambda=a^2-4}.

On voit qu’on a l’égalité : {M^{\top}M=\begin{pmatrix}a&i&1&2i\cr i&-a&-2i&1\cr1&2i&-a&-i\cr2i&-1&i&-a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&i&1&2i\cr i&-a&2i&-1\cr1&-2i&-a&i\cr2i&1&-i&-a\end{pmatrix}=\lambda I_4}

  • Si {\lambda\ne0}, c’est-à-dire si {a\notin\{-2,2\}}.

    Dans ce cas {M} est inversible et {M^{-1}=\dfrac1\lambda\,M^{\top}}.

    Alors {(S)} a une solution unique donnée par les équivalences : {\begin{array}{rl}(S)\Leftrightarrow&M\begin{pmatrix}x\cr y\cr z\cr t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cr i\cr 1\cr -i\end{pmatrix}\Leftrightarrow\begin{pmatrix}x\cr y\cr z\cr t\end{pmatrix}=M^{-1}\begin{pmatrix}1\cr i\cr 1\cr -i\end{pmatrix}\\\\\Leftrightarrow&\begin{pmatrix}x\cr y\cr z\cr t\end{pmatrix}=\dfrac{1}{\lambda}\begin{pmatrix}a&i&1&2i\cr i&-a&-2i&1\cr1&2i&-a&-i\cr2i&-1&i&-a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\cr i\cr 1\cr -i\end{pmatrix}\\\\&\qquad=\dfrac1{a^2-4}\begin{pmatrix}a+2\cr -i(a+2)\cr -(a+2)\cr i(a+2)\end{pmatrix}=\dfrac1{a-2}\begin{pmatrix}1\cr -i\cr -1\cr i\end{pmatrix}\end{array}}

  • Si {a=2}, alors {(S)\Leftrightarrow\begin{cases}2x+iy+z+2it=1\cr ix-2y+2iz-t=i\cr x-2iy-2z+it=1\cr 2ix+y-iz-2t=-i\end{cases}}

    Avec les opérations {\begin{cases}\text{L}_{1}\leftarrow\text{L}_{1}-2\text{L}_{3}\cr\text{L}_{2}\leftarrow\text{L}_{2}-i\text{L}_{3}\end{cases}}, on a {(S)\Leftrightarrow\begin{cases}5(iy+z)=-1\cr 4i(iy+z)=0\end{cases}}

    Les deux équations sont contradictoires, donc {(S)} n’a pas de solution.

  • Si {a=-2}, on a {(S)\Leftrightarrow\begin{cases}-2x+iy+z+2it=1\cr ix+2y+2iz-t=i\cr x-2iy+2z+it=1\cr 2ix+y-iz+2t=-i\end{cases}}

    On a {\begin{cases}\text{L}_{1}=i\text{L}_{4}\cr \text{L}_{2}=i\text{L}_{3}\end{cases}}, donc {(S)} se réduit à {\text{L}_{1}} et {\text{L}_{3}}.

    On a alors les équivalences : {\begin{array}{rl}(S)&\Leftrightarrow\begin{cases}-2x+iy+z+2it=1\cr x-2iy+2z+it=1\end{cases}\\\\&\Leftrightarrow\begin{cases}x=-1+\dfrac43z+\dfrac{5i}3t\phantom{\biggl(}\cr y=i-\dfrac{5i}3z+\dfrac43t\phantom{\biggl(}\end{cases}\end{array}}La solution générale s’écrit : {\begin{pmatrix}x\\y\\z\\t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\i\\0\\0\end{pmatrix}+\dfrac{z}3\begin{pmatrix}4\\-5i\\3\\0\end{pmatrix}+\dfrac{t}{3}\begin{pmatrix}5i\\4\\0\\3\end{pmatrix}}On obtient un plan affine passant par le point {A(-1,i,0,0)} (qui est une solution particulière) et dont la direction est le plan vectoriel engendré par les vecteurs {u=(4,-5i,3,0)} et {v=(5i,4,0,3)} (ce plan étant le noyau de la matrice M du système)

Exercice 4.
Dans l’espace {\mathbb{R}^5}, on définit les vecteurs {\begin{cases}u_1=(1,-1,2,3,4) & u_2=(2,1,-1,2,0)\\ u_3=(-1,2,1,1,3)& u_4=(1,5,-8,-5,-12)\\ u_5=(3,-7,8,9,13)\end{cases}}Déterminer le rang de la famille {u_1,u_2,u_3,u_4,u_5}.
Former un système d’équations du sous-espace de {\mathbb{R}^5} qu’ils engendrent.
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On forme la matrice {A} des {u_i} dans la base canonique.

On la borde cette matrice {A} par la colonne C de {v=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)}.

Ainsi {A=\begin{pmatrix}1&2&-1&1&3\cr-1&1&2&5&-7\cr2&-1&1&-8&8\cr3&2&1&-5&9\cr4&0&3&-12&13\end{pmatrix}}.

Puis {B=\begin{pmatrix}1&2&-1&1&3&x_1\cr-1&1&2&5&-7&x_2\cr2&-1&1&-8&8&x_3\cr3&2&1&-5&9&x_4\cr4&0&3&-12&13&x_5\end{pmatrix}}.

Pour trouver {\text{rg}(A)}, on procède par opérations sur les lignes de {B}, ce qui va en même temps permettre de trouver les conditions nécessaires et suffisantes pour que {v} appartienne au sous-espace engendré par {u_1,\ldots,u_5}. Il suffira en effet pour cela d’exprimer que {\text{rg}(A)=\text{rg}(B)}.{\begin{array}{l}B\Longrightarrow\begin{pmatrix}1&2&-1&1&3&x_1\cr0&3&1&6&-4&x_2+x_1\cr0&-5&3&-10&2&x_3-2x_1\cr0&-4&4&-8&0& x_4-3x_1\cr0&-8&7&-16&1&x_5-4x_1\end{pmatrix}\\\\\quad\begin{matrix}\text{C}_2\leftrightarrows\text{C}_3\cr\Longrightarrow\end{matrix}\begin{pmatrix}1&-1&2&1&3&x_1\cr0&1&3&6&-4&x_2+x_1\cr0&3&-5&-10&2&x_3-2x_1\cr0&4&-4&-8&0& x_4-3x_1\cr0&7&-8&-16&1&x_5-4x_1\end{pmatrix}\\\\\quad\begin{matrix}\cr\text{L}_{3}\leftarrow\text{L}_{3}-3\text{L}_{2}\cr \text{L}_{4}\leftarrow\text{L}_{4}-4\text{L}_{2}\cr \text{L}_{5}\leftarrow\text{L}_{5}-7\text{L}_{2}\cr \Longrightarrow\end{matrix}\begin{pmatrix}1&-1&2&1&3&x_1\cr0&1&3&6&-4&x_2+x_1\cr0&0&-14&-28&14&-3x_2-5x_1+x_3\cr0&0&-16& -32&16&-4x_2-7x_1+x_4\cr0&0&-29&-58&29&-7x_2-11x_1+x_5\end{pmatrix}\\\\\quad\begin{matrix}\cr\text{L}_{5}\leftarrow\text{L}_{5}-\text{L}_{3}-\text{L}_{4}\cr\text{puis}\cr\text{L}_{4}\leftarrow\text{L}_{4}-\text{L}_{3}\cr\Longrightarrow\end{matrix}\begin{pmatrix}1&-1&2&1&3&x_1\cr0&1&3&6&-4&x_2+x_1\cr0&0&-14&-28&14&-3x_2-5x_1+x_3\cr0&0&-2&-4&2& -x_2-2x_1-x_3+x_4\cr0&0&1&2&-1&x_1-x_4-x_3+x_5\end{pmatrix}\\\\\quad\begin{matrix}\cr\text{L}_{3}\leftarrow\text{L}_{3}-7\text{L}_{4}\cr\text{puis}\cr\text{L}_{4}\leftarrow\text{L}_{4}+2\text{L}_{5}\cr\Longrightarrow\end{matrix}\begin{pmatrix}1&-1&2&1&3&x_1\cr0&1&3&6&-4&x_2+x_1\cr0&0&0&0&0&9x_1+4x_2+8x_3-7x_4\cr0&0&0&0&0& -x_2-3x_3-x_4+2x_5\cr0&0&1&2&-1&x_1-x_4-x_3+x_5\end{pmatrix}\end{array}}Ainsi {\text{rg}(A)=3}. Le sous-espace {E} de {\mathbb{R}^5} engendré par les {u_i} est donc de dimension {3}.

Enfin on a les équivalences : {\begin{array}{l}v(x_1,\ldots,x_5)\in E\\\\\quad\Leftrightarrow\text{rg}(B)=3\Leftrightarrow\begin{cases}9x_1+4x_2+8x_3-7x_4=0\cr x_2+3x_3+x_4-2x_5=0\end{cases}\end{array}}