Quelques récurrences

Exercice 1.
On pose {\begin{cases}u_0=1\\u_1=\cos(\theta)\end{cases}\;} et : {\forall n\ge2,\;u_n=2u_1u_{n-1}-u_{n-2}}.
Calculer {u_n}, pour tout entier {n}.
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Exercice 2.
Soit {n} un entier naturel. Les équations suivantes sont à inconnues dans \mathbb{N}.

  • Combien l’équation {(E_{1,n}):\;x_0+x_1=n} a-t-elle de solutions {(x_0,x_1)\in\mathbb{N}^2}?
  • Combien {(E_{2,n}):\;x_0+x_1+x_2=n} a-t-elle de solutions {(x_0,x_1,x_2)\in\mathbb{N}^3}?
  • Généraliser au nombre de solutions de {(E_{p,n})\;x_0+x_1+\cdots+x_p=n}.
    On attend deux démonstrations :par récurrence, et par dénombrement.

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Exercice 3.
On sait que pour tout {n\ge1}, on a {\displaystyle\sum\limits_{k=1}^nk^3=\Bigl(\sum\limits_{k=1}^nk\Bigr)^2}

Inversement soit {(x_k)_{k\ge1}} une suite de {\mathbb{R}^{+*}}.

On suppose que : {\forall n\ge1,\;\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n x_{k}^{3}=\Bigl(\sum\limits_{k=1}^n x_{k}\Bigr)^2}.

Montrer que pour tout {k\in\mathbb{N}} on a {x_k=k}.

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Exercice 4.
On pose {u_n=1+\dfrac12+\dfrac13+\cdots+\dfrac1n}.

Montrer que pour tout entier {n\ge2}, u_n n’est pas un entier.

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Exercice 5.
Montrer que, pour tout {n\ge1}, on a :
{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\cdots+\sqrt2}}}}=2\cos\dfrac\pi{2^{n+1}}}(le nombre {2} apparaissant {n} fois sous la racine).
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