Projections orthogonales

Plan du chapitre "Espaces préhilbertiens réels"

Supplémentaire orthogonal

Proposition (supplémentaire orthogonal d'un sous-espace de dimension finie)
Soit

{E}

un espace préhilbertien réel.
Soit

{F}

un sous-espace de dimension finie de

{E}

.
Alors

{E=F\oplus F^\bot}

: le sous-espace

{F^\bot}

est appelé le supplémentaire orthogonal de

{F}

Le cadre du résultat précédent est : ${F}$ sous-espace de dimension finie de ${E}$ (qui lui est de dimension quelconque). Évidemment, il n’y a pas d’hypothèse à faire sur ${F}$ si ${E}$ est lui-même de dimension finie.

Proposition (dimension du supplémentaire orthogonal en dimension finie)
Soit

{E}

un espace euclidien, donc de dimension finie

{n}

.
Soit

{F}

un sous-espace de

{E}

.
Alors

{\dim(F^{\bot})=n-\dim(F)}

.
On a l’égalité

{F=F^{\bot\bot}}

. Ainsi

{F}

est lui-même le supplémentaire orthogonal de

{F^\bot}

Si on est en dimension finie, on pourra donc dire des sous-espaces ${F}$ et ${F^{\bot}}$ qu’ils sont supplémentaires orthogonaux l’un de l’autre.

Supplémentaire orthogonal et bases orthonormées

Soit ${F}$ un sous-espace vectoriel de l’espace euclidien ${E}$ .

Soit ${e}$ une base orthonormale de ${F}$ et ${e'}$ une base orthonormale de ${F^\bot}$ .

Alors ${e\cup e'}$ (obtenue par juxtaposition) est une base orthonormale de ${E}$ .

Réciproquement, si on complète une base orthonormale ${e_1,\ldots,e_p}$ de ${F}$ en une base orthonormale ${e_1,\ldots,e_p,e_{p+1},\ldots,e_n}$ de ${E}$ , alors ${e_{p+1},\ldots,e_n}$ est une base orthonormale de ${F^\bot}$ .

Sur la figure ci-dessous, on s’est placé dans un espace euclidien ${E}$ de dimension ${3}$ .

Ici, le plan vectoriel ${P}$ et la droite vectorielle ${D}$ sont supplémentaires orthogonaux l’un de l’autre.

Si ${(e_1,e_2)}$ est une base de ${P}$ et si ${e_3}$ est une base de ${D}$ , alors la famille ${(e_1,e_2,e_3)}$ est une base orthonormale de ${E}$ si et seulement si ${(e_1,e_2)}$ est une base orthonormale de ${P}$ et ${e_3}$ est unitaire.

Projection orthogonale

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