p-listes et combinaisons

Plan du chapitre "Dénombrements"

Définition (p-listes d'éléments quelconques)
Soit

{B}

un ensemble fini de cardinal

{n\ge1}

.
Soit

{p}

un entier, avec

{p\ge1}

.
Les

{p}

-uplets

{(b_{1},b_{2},\ldots,b_{p})}

, où les

{b_{k}\in B}

, sont appelés

{p}

-listes d’éléments de

{B}

.
Le nombre de

{p}

-listes d’un ensemble

{B}

de cardinal

{n}

est

{\text{card}(B^{p})=n^{p}}

Il faut bien noter que dans la définition précédente, les ${b_{k}}$ ne sont pas supposés distincts. En revanche, l’ordre dans lequel les ${b_{k}}$ apparaissent est important.

Ainsi, si ${a,b,c}$ sont distincts dans ${A}$ , les six ${3}$ -listes suivantes sont distinctes : ${\begin{array}{l}(a,b,c),\;(a,c,b),\;(b,a,c),\\(b,c,a),\;(c,a,b),\;(c,b,a)\end{array}}$ De même, si ${a,b}$ sont distincts, les huit ${3}$ -listes suivantes sont distinctes : ${\begin{array}{l}(a,a,a),\;(a,a,b),\;(a,b,a),\;(a,b,b)\\(b,a,a),\;(b,a,b),\;(b,b,a),\;(b,b,b)\end{array}}$

Proposition (p-listes d'éléments distincts)
Soit

{B}

un ensemble fini de cardinal

{n\ge1}

.
Soit

{p}

un entier, avec

{1\le p\le n}

.
Il y a

{\dfrac{n!}{(n-p)!}}

{p}

-listes

{(b_{1},b_{2},\ldots,b_{p})}

d’éléments distincts deux à deux dans

{B}

On a supposé ${p\le n}$ car si ${p>n}$ on ne peut former d e ${p}$ -liste d’éléments distincts de ${B}$ .

Si par exemple ${B=\{x,y,z,t\}}$ :

le nombre de ${2}$ -listes d’éléments distincts de ${B}$ est ${\dfrac{4!}{2!}=12}$ ; les voici : ${\begin{array}{rl}(x,y),\;(x,z),\;(x,t),\;(y,x)\\(y,z),\;(y,t),\;(z,x),\;(z,y)\\(z,t),\;(t,x),\;(t,y),\;(t,z)\end{array}}$
le nombre de ${3}$ -listes d’éléments distincts de ${B}$ est ${\dfrac{4!}{1!}=24}$ ; les voici : ${\left\{\begin{matrix}(x,y,z)&(x,y,t)&(x,z,y)&(x,z,t)\\(x,t,y)&(x,t,z)&(y,x,z)&(y,x,t)\\(y,z,x)&(y,z,t)&(y,t,x)&(y,t,z)\\(z,x,y)&(z,x,t)&(z,y,x)&(z,y,t)\\(z,t,x)&(z,t,y)&(t,x,y)&(t,x,z)\\(t,y,x)&(t,y,z)&(t,z,x)&(t,z,y)\end{matrix}\right.}$